[原创]几何与数量的关系

mathtalk · 发表于 2005-12-23 00:04:10

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>几何与数量
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>数学是表示的图形关系单元是不一样的，一个数既可以表示线段、面积、体积等概念，又可以表示数量多少的概念关系。在几何那里图形关系是基本的，而数则是图形关系的又一表述之一，但是应该满足图形关系条件的，图形关系是数的背景条件，数只有纳入到图形关系中来是有效的。图形关系与变换无法用代数来实现，混淆数与数之间的概念关系才会发生复数关系，还可以发生任何数的关系。
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数学中有许多几何与数量混淆使用的例子，比如黎曼猜想，费马大定理等数论问题，人们利用复数来尝试解决，还比如三等分角，拓扑中的基本群等几何问题，人们利用抽象代数来帮助处理，其中复数应用于平面几何中向量，而抽象代数又广泛的应用于数论。
 
实际上数量与几何具有各自不同的表述，应该首先明确计算目的的单位是什么，即是数量还是几何图形关系。例如数学中的1*、12、13不是一回事，前者是数量*、面积、后者是体积。取消了1×1=1<v:shapetype> <v:stroke joinstyle="miter"></v:stroke><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"></v:f><v:f eqn="sum @0 1 0"></v:f><v:f eqn="sum 0 0 @1"></v:f><v:f eqn="prod @2 1 2"></v:f><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"></v:f><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"></v:f><v:f eqn="sum @0 0 1"></v:f><v:f eqn="prod @6 1 2"></v:f><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"></v:f><v:f eqn="sum @8 21600 0"></v:f><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"></v:f><v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f></v:formulas><v:path connecttype="rect" gradientshapeok="t" extrusionok="f"></v:path><lock aspectratio="t" v:ext="edit"></lock></v:shapetype><v:shape><v:imagedata></v:imagedata></v:shape>=1或1×1×1=1<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>=1计算过程中的表示平方或立方的形式，就是混淆图形与数量关系的开始，虽然1<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>=1或1<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>=1都等于1，但是所表示的计算的单位关系是不一样的，因为后者1的里面包含有2个前者1。如算术式1<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>+1<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>=2<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>、<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>之间的关系。如果没有严格的规定，代数式则更容易混淆所计算的单位关系了。我们应该把数量与几何区分开，来避免因此而产生的概念混乱。
 
1在数量上既可以表示以什么为单位的1，又可以表示以实数为进行计算的1；而在几何面积计算当中却是不一样了，1既可以表示以单位为计算的1，又可以表示另一个边长的长度，或又可以表示以实数或虚数为进行计算的1；又如在体积计算当中其意义又有所变化，但是当超出体积计算时其意义更有所变化了。在数量的计算中，任何多余的虚数都是毫无意义的，数量与虚数所表示的意义关系完全不一样，在数量上所表示的虚数在表示图形关系或许就有意义。事实上由于虚数来源求解方程的根x2= −1，以及虚数在几何中的广泛应用，虚数本质是图形关系概念，而不是属于数量关系概念。
 
在算术式所能发生的问题在代数中就更容易产生，因为更容易混淆概念。所以有些复数的产生是因为代数缺乏前提性的限制性条件，即只管计算抽象性的结果，而不管计算对象如何，因此复数计算才会任意自由泛滥。复数不是不存在，而是在特殊规定的情况下产生的。在没有特殊表示时是不存在虚数计算的，如一条直线不作另外说明表示就是一条直线，而不是有可能存在平面或曲线等其它情况。问题产生的原因：区别在于几何与数量具有不同的数学表示形式，是不能或无法等同的。在数学历史产生复数时就已经存在许多激烈的争论，由于没有找出推翻理由的原因，所以被保留下来。
 
多项式方程存在的基础是数与数之间存在着一种特殊的关系，多项式方程表示的应该是具有某种图形结构关系，如表示数量则是没有太大意义的，因为通过计算之后最终还会成为一个结果的数量。小学数学应用题。
 
复数若要从几何上来讲，属于变换又一个新的投影面所导致产生的，在同一投影面可以存在这样情况又可以存在那样情况，可变换但不可交换。此处的真实性并不等于所有的都具有。决定一个数是不是复数的条件是事实，而不是那些人为性的任意性规定。判断一个数是不是复数的依据必须是根据事实的真实情况，一个完全抽象孤立的数我们无法判断究竟是不是复数，即有可能是又可能不是。如果事先不作任何说明，那么也就说明不存在。我们不应该将有可能不是的也当作有可能是一样对待处理。
 
复数是平面向量，实数是一维数轴。矢量表示不同的位置及变化。复数不能当作数，可能只是一种形式。复平面说明不了复数乘法，i2= −1的性质，只能描写复数的+、−，因此，复数本质不是向量，向量不用复数也可以表示。
 
凡是实数就不存在开方问题，凡是存在开方问题就是存在几何图形方面的求根数问题，即面积与边长之间的关系。就算是有些根式存在整数解，那这些根式也不应该算是实数，因为根式与一般的除法的表现意义完全不同，在规定定义时就已经存在问题了。几何功能主要是表示表现形体上的关系，数学的功能主要是表示表现计算数量上的多少。不同的数学体系是有区别的，并不是完全相容的。
 
1 既可以是有限的，又可以是无限的，关键在于人们的事先规定，应该用图形比例法的三角对应式的更为直观。变换投影面还可以表示虚数或复数。各种数学公式算法或非欧几何等各种结构全部包括其中，即不同算法的数差序列或所有的数值，它们之间的关系一通百通非常直观，其实用不着任何证明。还可以用一根封闭的绳套来做各种方、圆、三角等图形，来观察各种变化。
 
几何图形与数字表示各自在不同的用途当中具有各自不同的优点，是各自无法取代的，应该相互结合起来而进行应用是更加有效的。解析以图形为辅，分析以图形为主。代数学只见符号或关系，至于所表示的内容只能由每个人各自去理解取舍，如量子力学。
 
解析几何是不是几何？因为方法和结果的实质都是代数，他们的几何意义都是隐蔽的。此外，分析学以其形式过程略去了完成了的事情的意义，起点与最终结果之间的联系是不清楚地。解析几何描写的对象主要是距离、角度等，缺乏对性质、变化的刻画，并且解析几何不直观，解决问题单一，只针对长度、角度、方位等有效。
 
高次方程用图示解法岂不更简单？图示法更为直观简洁，也可以这样认为：把数学用坐标或图形表示出来，让数字或代数学成为有形体形象，凡是数量问题都是可以通过图形来表示，岂不是更加直观性和简单容易理解。凡是图形问题也可以通过数字数量来表示，相互比较之下困难一些，如果一旦理解了当然也是再容易不过了，但仍然脱离不开早期建立起来的痕迹。

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