[原创]数论新解

mathtalk · 发表于 2005-12-23 00:03:19

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align=center>数论新解
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>对于理论数学的数论乃是一种理想量化的思维游戏活动，它早已远离了实际应用，在这样的思维活动过程中数学家获得更高的数学思维能力。现在的数论是在人为性规定的范围内进行的，既然是人为性规定，那么只管再去规定就可以了，就算是经过数学证明也是没有太大的意义。因为数学证明的本身也是人为性规定，用规定来证明规定其结果还是等于规定。理论数学是推理论证式，越来越复杂，但是我们努力的结果是向简单化发展。数学的创新发展不在于前沿或尖端，而应该在于基础开始的方向。在数学证明中的难题，回归到自然实际应用中就并不是难题。
 

算术数字的表示关系
既然是讨论研究数论就不再应该脱离实际数字，那么就应该以数，即算术为对象，而不是再以代数为对象。没有公理化体系的各种证明或各种人为性规定，只有自然真实事实，否则那就应该称为代数了。数论忽略了数学的对象才会认识不清，采用代数符号的方法将算术中许多具有本质性的东西掩盖了。
 
即使是算术式，也还是存在某种事实意义上的不清楚。例如数量与几何图形问题还是存在不同区别的，它们之间的关系并不完全等同。有些乘数与被乘数的关系也不完全等同。具体事物是具有非常明确的确定性，代数则是具有不确定性的，既可以表示这个，又可以表示那个。
 
代数符号在没有代入方程式之前可以代入所有任意的数或意义，一旦代入方程式则代表某一类数，又一旦代入数字则又代表某一具体对应数。例如a+b=c，一旦知道了a和b，则c也就知道了，它们都是同一类的。算术等价的意义值得研究，如a=b，b=c，如果是在不同的环境条件下的结论，那么不能有a=c。在很多情况下，一个事物与另一个事物结合，而不是两个事物，所以加法是有使用范围的。
 
抽象代数的1是具有任意性的，可以是数，也可以是代数结构，由于代数将这些算术问题给掩盖了。比如我们说一个1，1并不是同一个1的意思，而存在有两个不同的1的意思。如1乘1得1，1乘2得2，……；1乘1得1，2乘1得2，……，在几何图形关系上又是可以等同的。
 
必须首先澄清数字之间所表示的不同关系：如加法交换律是完全的相同关系，可是乘法有些可能是完全的不同关系，却不是能随意交换，相同关系除外，如平方、立方等，否则关系颠倒容易引起概念混乱。因为被乘数与乘数的单位概念定义是不同的，尽管得数一样，概念的关系是不能互换颠倒的。加减法可作为一个集合，但是加减法必须是等同关系，内容相同的可以；乘除法也必须存在三个全等的关系，乘数与被乘数有时是完全截然不同内容的数字概念，因为数字所表示的实际内容具有多义性和歧义性，只有数字意义而无实际内容是容易混淆它们之间的关系的。
 
数学上的这个集合是具有某种准确意义上的集合，它不是混合，数与数在现实中是无法完全等同的，这是数学领域中的困扰和无力解决的问题，只有回归到具体对象中才能摆脱。例如被乘数可以看作是常数，或叫系数，乘数是变数，积是函数，所以常数与变数不是一回事。虽然都是自然数其内容意义是不一样的，是由于极端抽象而造成的，数字可以互换，但是表示不同内容意义的却不可以互换。虽然得数都是一样的，可是有些表示的关系却是不一样的。有些可以表示长度关系，有些可以表示面积关系，长度与面积是有区别的。
 
在数字上是准确的，在内容表示上是不严格确定的，所以有人常发生误会，不得不引起注意和重视。有时我们应该茄子萝卜一块数，有时又不应该，究竟怎样才算应该或不应该看在什么范围环境背景情况前提条件下。平方、立方既可以表示面积、体积又可以表示长度等，这是数学抽象化的结果，但是在应用中它们之间的关系是截然不同的。
 
负数的意义也应该重新澄清，负数只是在人为性规定的有限范围内有效，并不是具有普遍适用性。如负人类、负地球、负物质的概念恐怕就不适用了。如果是用代数来表示，则很容易混淆它们之间的关系。
 
数论就是要澄清数与数之间的关系，显然数与数相同可是它们之间的关系是不一样的。既然是数论那么就应该讨论数学前提基础，这也是数学必不可少应该研究的一个方向，不只研究集合，也应该研究概念。这样数学的神秘性才会被揭示出来，我们才会对数学有一个更为清醒认识或准确把握。用数论的算术式完全可以取代微积分、偏微分、泛函等各种复杂计算，更加简单容易，成为人人都能掌握的数学技巧，而且比原来更加实用。
 
数论的正确发展方向应该是与自然真实相结合，应该讨论认识数学规则中间的性质或关系，而不是向背离自然真实愈远的方向而发展的演绎主义。数论应该超越数学来对待考虑数学基础认识问题，就数论数是看不清楚这些关系的。即应该找出产生形成数学的原因，明确数学的作用目的和有效范围。
 
数论的目的是将所有的数学知识统一起来形成一个整体，那么这个整体只能是以物质为存在基础的空间变化，或以空间为基础的物质变化。物质是变化着的，即长度或数量也是完全可以转化改变的和与其进行换算的，数学的某些集合也得对应符合这种变化，所以原来不管无论是多么严密的论证证明，最终还得改变原来的规定。根据事实参照规定来修改某些规定，以规定出新的规定，以满足适应新的实际应用的要求。结构数学对于描述物质种类的所在空间位置或关系，还是具有类似性，应与物质联系起更成为有用。改变它的抽象使之与具体对应的物质形象化，让代数数论的数不再是一个抽象数的概念，数论应被理解为在物质演变过程中某些阶段上的数学特征，才更具有说服力和更大的用处。
 
抽象代数
代数也是在以算术为基础起始建立的，莱克因：“过分追求严密性，将引入绝境而失去它的真正意义。数学仍然是活跃而富有生命力的，但是它只能建立在实用基础上。”然而算术则是以自然真实事实为基础起始建立的。极端抽象集合论才会发生悖论，具体实际的算术则永远不会发生这样的事情。要是从应用的角度上来考虑数学问题，那么算术比代数更加简单实用。为什么非要舍弃那个简单容易的，而采用那个费力麻烦那个呢？算术类比同样能表示或研究抽象群、环、理想、可除代数和域，这些结构的性质和关系，即同构、同态，而不会导致数学悖论。
 
不应该朝着完全抽象化的代数方向走，而应该以算术为前提基础，将许多特殊情况纳入到普遍通用的情况中，抽象代数试图将各种算数式分解成各种不同的代数种类，重新整合为普遍通用的努力是徒劳的。正如莱克因所说：“抽象代数领域里的大多数工作者都不再知道抽象结构的来源，他们也不关心他们的结果对具体领域的应用。”代数不具有普遍意义，所以有些内容代不进去，是无法克服的理论困难。
 
代数的适用范围有效范围是不一样的，1的多少次方都是1，2的多少次方，3的多少次方则差别很大。所以，当方程高次后，由于数的的复杂，用代数已经不能代表了。算术意义与代数意义是不一致的，如高次方程或发散级数等，代数抹杀算术意义。代数不但没有给人们带来使用上的方便，反倒制造许多意外麻烦，如数学悖论，多数人学完代数学以后，从事生产生活实践活动过程中并不切合实用。
 
解决实际应用问题的仍然是算术，只有算术才是真实必要的。准确的说xyz ABC等字母各自代表某种类型的数，而不是所有的数，因为误解被认为是所有的数，混淆它们之间区别。在数学事实上没有人对代数符号字母作某些限制性规定，好像不言而喻顺理成章自然而然的事，已经失去所应代表确切的意义，失去某些本来面貌。
 
所有数学难题都是因为代数而代出来的，采用算术法进行计算，没有解决不了或计算不了的难题，否则就再也不会出现发生，就是连最高级数学家也还有解决不了的数学难题了。初等数学只是特殊情况，高等数学具有普遍意义，然而由于极端抽象脱离实际太远了。
 
有些数学是在抽象化的前提基础上的再次抽象，即超抽象化。只要是数学的基础是可靠的，那么数学也是可靠的。如果数学的基础是不可靠的，数学的可靠性也会失效，因为毕竟数学最终还是以实际应用为目的的。应用数学是属于一门测量计量或计算的实用技术，是使用各种数学规则与符号，应用数学必须满足经验事实基础之上的。数学也应该分为理论及应用，这样更有利于明确各自的目标或方向，（极端的抽象理论势必付出昂贵的代价）数学虽然是归纳、概括、抽象出来的符号逻辑体系，但它还是具有普遍意义的同一性的，但不是完全全面的。
 
纯粹理论数学则不必管这些，只管按公理化的形式逻辑演绎即可，数学并不需要更多的内容。常常是基础前提条件的适用范围出现发生问题，这些是与数学无关的，数学尽可以走它自己的路，不要管它暂时有没有用。希尔伯特的数学这些思想观点并不完全可取。理论数学则是一种专门研究和制定数学规则与符号或专业术语的，理论数学并不以现实实际存在为研究对象，所以具有很大的人为任意性。

徐耀辉 · 发表于 2006-5-9 00:53:30

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