数学语言为什么有普遍的表达能力?- -

yushan

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<>这涉及到数学语言是如何刻画差异的问题<BR>
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<P>第一种回答是：数学语言建立在集合论之上，而集合论是一种以个体为基础的表达语言，即一种物理语言表达方式，所以具有表达的普遍性。数学语言的界限，那就是集合论的表达界限。这具有相当强的解释能力。</P>
<P>第二种回答是：传递函数使数学语言具有普遍的表达能力，因为信息处理的观点具有普遍的意义，而传递函数很好地表达了信息处理，所以数学语言有普遍的适用性。我们知道，系统论的研究方法就是采用这一表达方法，所以系统论和信息论广泛适用一切领域。</P>
<P>第三种回答是：从哲学上看，计算的数学是在"做什么"，而语言的数学要求显示"是什么"。如何我们承认谓词的操作性语义定义，即谓词就是"做什么"的界定。这样，计算的数学就获得了描述显示的普遍性，它同时就有了刻画差异的能力。这其实也是集合论的语言，即界定一个集合的特征函数法。</P>
<P>这才触及到数学语言的本质。</P>
<P>语言的作用是显示事物的差异，所以，数学要成为一种语言，从根本上讲，就是要具有显示差异的功能。这是语言的数学区别于计算的数学关键要点。</P>
<P>那么数学是如何刻画差异呢？</P>
<P>数学中引入了数量概念，所以能够比自然语言的概念更细致入微的刻画差异，这没有错，但是如果以为这就是数学语言的特点，是它胜于自然语言之处，那就大大错了。</P>
<P>数学并不仅仅是计算，并不是以定量表达取胜。</P>
<P>这里的关键是对差异的新理解。在数学语言那里，差异表现为一种非对称性，一种序关系。它不是定量的差异，而是定性的差异，所谓定性差异就是事物结构上的差异，一种特定关系的刻画，一种序型的刻画，比如表现在一个流程图中的序型刻画，而数量关系仅是最简单的一种序型：即所谓的全序。所以，数学语言的重点是结构刻画，关系刻画，非对称性刻画，也就是定性刻画。</P>
<P>求解方程，是计算的数学。而关于方程可解性的研究，引出了群的概念，就是结构的研究，从而建立代数结构。这就成为了数学语言，而不是一种算术，因为它具有了模型功能和显示结构的功能。数学语言为什么优于自然语言，在很大程度上就是数学语言能更好地表达结构，自然语言对此却比较笨于表达。</P>
<P>结构是什么？结构也是各种关系。《表达的探究》提供了数学语言是如何刻画差异的，刻画非对称性的四个典型方法，即"对应"，"构造"，"闭环"和"相关"。"对应"一对一关系，"构造"是多对一的组合关系，而"闭环"是一对多的关系，"相关"从最广泛的意义上表达了一种非对称的关系。数学中的各种空间：度量空间，拓扑空间，代数空间就是制定好的现成结构，它可以作为描述模型供各种学科引用。</P>
<P>详细参见表达的探究网站:</P>
<P><a href="http://www.yushan58.blogchina.com/" target="_blank" >www.yushan58.blogchina.com</A></P>

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corn1949

我认为数学的逻辑基础是数学成为不同民族不同国家的人们都能相互理解的根本原因，这是其具有普遍性的原因。即使大家对概念可以有不同的诠释，对数学结果可以有不同的表述方式，但是所有的人在进行数学工作时（包括学习数学，研究数学，教授数学等）都使用同样的逻辑算法，这个算法是天生的，而且全人类都一样。其他的都是表象，所以很难解释。