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下载：井冈山大学2010年数学建模竞赛试题

注：由于格式限制，略去了图表，请下载文件查看原题。
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A题 自习教室开放的优化管理
近年来，大学用电浪费比较严重，集中体现在学生上晚自习上，一种情况是去某个教室上自习的人比较少，但是教室内的灯却全部打开，第二种情况是晚上上自习的总人数比较少，但是开放的教室比较多，这要求我们提供一种最节约、最合理的管理方法。
下面是某学校收集的部分数据，请完成以下问题.
表1 教室相关数据（略）
管理人员只需要每天晚上开一部分教室供学生上自习，每天晚上从7：00—10：00开放（如果哪个教室被开放，则假设此教室的所有灯管全部打开）。完成以下问题：
1．假如学校有8000名同学，每个同学是否上自习相互独立，上自习的可能性为0.7.要使需要上自习的同学满足程度不低于95%，开放的教室满座率不低于4/5，同时尽量不超过90%。问该安排哪些教室开放，能达到节约用电的目的.
2．假设这8000名同学分别住在10个宿舍区，现有的45个教室分为9个自习区，按顺序5个教室为1个区，即1,2,3,4,5为第1区，…，41,42,43,44,45为第9区。这10个宿舍区到9个自习区的距离见表2。学生到各教室上自习的满意程度与到该教室的距离有关系，距离近则满意程度高，距离远则满意程度降低。假设学生从宿舍区到一个自习区的距离与到自习区任何教室的距离相同。请给出合理的满意程度的度量，并重新考虑如何安排教室，既达到节约用电目的，又能提高学生的满意程度。另外尽量安排开放同区的教室。
3．  假设临近期末，上自习的人数突然增多，每个同学上自习的可能性增大为0.85，要使需要上自习的同学满足程度不低于99%，开放的教室满座率不低于4/5，同时尽量不超过95%。这时可能出现教室不能满足需要，需要临时搭建几个教室。假设现有的45个教室仍按问题2中要求分为9个区。搭建的教室紧靠在某区，每个区只能搭建一个教室，搭建的教室与该区某教室的规格相同（所有参数相同），学生到该教室的距离与到该区任何教室的距离假设相同。问至少要搭建几个教室，并搭建在什么位置，既达到节约用电目的，又能提高学生的满意程度.
 表2 学生区(标号为A)到自习区(标号为B)的距离(单位:米)（略）

B   人力资源问题
一个大型软件公司公司需要以下三类职员：系统分析员、高级程序员和程序员。据估计，当前及以后三年需要的人员数如表：
表1 当前已有的各类职员数量及后三年需要的数量（人）： （略）
为了满足以上职员需要，该公司考虑以下四种途径：
1、    招聘职员 2、    培训职员 3、    辞退多余职员 4、    用临时工
由于电脑软件人才流动性较强，每年都有自然跳槽现象发生，在招聘职员中，第一年跳槽的人数特别多，工作一年以上再跳槽的人数就很少了。跳槽的人数的比例如下表：
表2 跳槽的人数比例 （略）
当前没有招聘，现有的职员都已工作一年以上。
1． 招聘职员。假定每年可以招聘的工作数量有一定的限制，如下表所示：
表3 每年招职员数限制（人） （略）
2． 培训。每年可以将20个程序员职员培训成高级程序员职员。每人每年的培训费是4000元，每年将高级程序员职员培训成系统分析员职员的人数不得超过年初系统分析员职员的四分之一，培训高级程序员职员成为系统分析员职员的费用是5000元。
  公司可以把职员降等使用（即让系统分析员工去做高级程序员工或程序员工的工作等等），虽然这样公司不需要支付额外的费用，但被降等使用的职员中有50%会放弃工作而离去（以上所说的自然跳槽不包括这种情况）。
3． 辞退多余人员。辞退一个多余的程序员职员要付给他2000元，而辞退一个高级程序员或系统分析员职员或系统分析员职员要付给他5000元。
4． 额外招聘。该公司总共可以额外招聘15人，对于每个额外招聘的人员，公司要付给他额外的费用如下表：
表4额外招聘的附加费用（元/人年） （略）
5． 用临时工作职员。对每类人员，最多可招收5名临时工作职员，每个职员的费用为
  表5短工的费用（元/人年） （略）
每个临时工作职员的工作量相当于正常工作职员工作量的一半。
  问题1：如果公司的目标是尽量减少辞退职员。试提出相应的招聘和培训计划。
  问题2：如果公司的政策是尽量减少费用，这样额外的费用与上面的政策相比，可以减少多少？而辞退的职员将会增加多少？

C题  火电站扩建问题
某地区在制定十年电力发展规划时遇到这样一个问题：根据电力需求预测得知，该地区在十年后发电装机容量需要增加180万千瓦，那时的年发电量需要增加100亿度。根据调查和讨论，电力规划的备选技术方案有三个：扩建原有的火电站，但最多只能再安装五台10万千瓦的发电机组；新建水电站，但最多只能安装四台25万千瓦的发电机组；或再新建一个火电站，最多只能安装四台30万千瓦的发电机组。通过调研和计算，获得有关的参数如表1所示。
表中负荷因子为全年满功率运行天数与全年总天数之比。根据该地实际调查原有火电站平均全年满功率运行天数为241天，水电站和新建的火电站应分别为146天和255天，而全年365天，故折算得表中数据。表中资本回收因子是由如下数据所确定的，火电站的回收年限取15年，年利息率为0．06；水电站的回收年限取30年，年利息率为0．04，即得表中所列数值。
请在满足上述技术要求的前提下，选取经济效果最优的建设方案。
1．原来的火电站应如何扩建？
2．新建的水电站应如何确定单机容量为25万千瓦的发电机组的数量？
3．新建的火力发电站应如何确定单机容量为30万千瓦的发电机组的数量？ 
表1 :备选技术方案参数表 （略）

D题：个人所得税分配方案
广受社会关注的个人所得税起征点标准，2005年10月27日下午尘埃落定。全国人大常委会高票表决通过关于修改个人所得税法的决定，修改后的个人所得税法自2006年1月1日起施行。此次个人所得税法，在两处进行了修改，调整工薪所得费用扣除标准和扩大纳税人自行申报范围两项政策调整:一是提高了工薪所得费用扣除标准，个税起征点：1600元 ,个税法第六条第一款第一项修改为：“工资、薪金所得，以每个月收入额减除费用1600元后的余额，为应纳税所得额。”二是进一步扩大纳税人自行申报范围和推行扣缴义务人全员全额扣缴申报，加大对高收入者的征管力度，堵塞税收漏洞。
其具体征税方案如下：
一、每月工资应纳税计算方案：
  月应纳税所得额=月工薪收入-费用扣除标准（1600）
（表略）
例如： 如某人月工薪收入为3500元，则月应纳税所得额=3500-1600=1900元,当月应交个人所得税=500×5%+（1900-500）×10%=165元。
二、年终一次性奖金纳税计算方案：
1．  先将雇员当月内取得的全年一次性奖金，除以12个月，按其商数确定适用税率和速算扣除数。
2．  将雇员个人当月内取得的全年一次性奖金，按所确定的适用税率计算征税。
     例如：某公司某职员年终奖是6000元，按国税发[2005]9号文的规定公式，计算如下：平均月收入＝6000/12＝500元，则适用税率是5%。应缴纳个人所得税＝6000×5%=300元；而如果职员年终奖是6001元，按国税发[2005]9号文的规定公式，计算如下：平均月收入＝6001/12＝500.0833元，则适用税率是10%。应缴纳个人所得税＝6000×10%=600元；
    注：年终一次性奖金纳税计算与每月收入纳税计算独立进行。
   
1.       请根据以上新的纳税方案，为某公司职员制定其每年收入分配方案使其年度纳税总额最少（纳税性                     （（（假设其年收入为10万元，公司允许其自行决定每月收入和年终一次性奖金的分配数额）。
2.       请制定一张该公司职员年度收入最优分配方案表，年收入从3万元以1000元为间隔到15万元。
3.       现假设该公司某夫妇年收入为9万元，并打算贷款购买住房，银行贷款利率如下表。如果新房的售价为55万元，请替该夫妇制定一个合理的贷款方案，包括分几年还清、每月还款额和全年收入分配方案。

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