数学建模网—SHUMO.COM

消息来源：http://jpkc.gxun.edu.cn/sxmx/Explorer.asp?Type=Module&ID=381
感谢xuhan1100@*****.com朋友提供信息。

下载：广西民族大学2010数学建模竞赛题目

注：由于格式问题，略去了图表，请下载文件查看原题。
===================================
A题: 遥测遥感网
大气污染所引起的地球气候异常，导致大面积严重森林大火的频频发生，给人民的生命财产造成巨大损失。因此，不少国家政府都在研究有效的森林防火措施。在容易出现高森林火险的重点地区放置高科技的监视装置，建立遥测遥感网，使人们能准确而及时地掌握险情的发展情况，为有效地防止火灾发生或在酿成严重灾害之前将其扑灭创造条件。科技的迅速发展使人们可以制造不太昂贵且具有收发报通讯功能的监视装置。放置在同一监视区域内的这种监视装置（以下简称为装置）构成一个Ad Hoc无线网络，即通常所说的遥测遥感网。

如果监视区域的每一点都处于放置在该区域内某个装置的监视范围内，则称这些装置能覆盖该监视区域。研究能确保有效（即按一定概率）覆盖且数量最少的装置系统的随机放置问题显然具有重要意义。

第一个问题涉及能覆盖给定监视区域的装置数目及分配问题，具体如下：
A1 设监视区域为边长b=100(长度单位)的正方形，每个装置的监视半径均为r=10(长度单位)。请参考蜂窝网格的特性讨论覆盖该区域所需装置的最少数量。
A2 在设计遥测遥感网时，首先需要知道对给定监视区域在一定的覆盖保证下应放置装置的最佳（越少越佳）数量，并且常假设装置在监视区域内是均匀地随机放置的。请在上述假设下建立数学模型，利用随机模拟实验回答：对于A1中给定的监视区域及监视半径，至少需要随机放置多少个装置，才能使得成功覆盖整个区域的概率在95%以上？并给出一个均匀随机放置装置的分布图。
A3 对一般矩形以及多边形的监视区域进一步探讨以上问题。

由于监视旱情的遥测遥感网地处边远地区，它的每个（除极少数例外）装置都只能以电池为能源，电池用尽装置即报废。因此，如何节省电池能耗是设计此类网络运行方案的头等大事。常用的一个很有效的节能措施是：让大多数装置“休眠”只保留尽可能少的装置“值班”。对同时选出的这些值班装置的全体，必须要求它们整体具有与遥测遥感网的每个装置都能联系的功能，从而保证当任何休眠装置定时“苏醒”后若发现“险情”，都能及时向值班者之一传递险情信息。遥测遥感网的若干装置组成的子集S称为一个支配集，如果该遥测遥感网中不属于S的任一装置必位于S中某个装置的通讯范围之内（即二者可互相交换信息）。不言而喻，上述同时“值班”的装置的集合必须要求是该遥测遥感网络的一个支配集。从实际应用的角度来说，这种支配集的优劣以其包含的装置个数来衡量（越少越优）。此外，如果把考虑的遥测遥感网视为一个无向图（每个装置是它的顶点，二顶点相邻接当且仅当二点间的距离小于公共的通讯半径R）。支配集按图论意义是连通者更为可取，因为通过仅在支配集内部传递信息的手段可以让它的每个装置共享任一装置所得到的信息，这样的支配集自然称为连通支配集。

第二个问题涉及求元素尽可能少的支配集和连通支配集的问题，具体如下：
B1 设监视区域为边长b=100（长度单位）的正方形，每个装置的通讯半径均为R=10（长度单位）。已知在该监视区域内放置了120个装置，它们位置的横、纵坐标依次是：
x=57,95,34,31,52,30,15,75,75,65,55,41,36,72,16,85,86,75,32,5,16,25,72,68,61,37,48,81,23,35,6,85,64,22,69,80,76,88,25,62,70,45,35,75,35,56,27,92,25,44,5,17,90,25,58,95,87,68,30,9,32,47,50,56,56,47,80,10,12,63,39,81,43,17,80,45,92,78,89,51,40,65,76,30,26,28,25,29,40,4,74,41,39,95,72,79,78,10,8,15,45,70,90,84,20,40,55,5,73,22,17,50,55,87,72,55,7,85,35,10.
y=58,74,12,68,67,4,75,52,30,28,63,61,20,24,10,49,90,90,20,92,35,66,4,33,35,78,46,31,90,66,33,9,37,13,43,83,13,94,95,45,70,42,9,41,91,30,92,90,58,52,80,33,5,74,47,2,72,88,28,9,95,71,43,43,25,25,64,96,33,70,9,89,14,25,55,61,40,22,45,51,90,49,7,98,34,99,8,63,83,11,44,25,21,51,76,8,44,80,89,95,90,82,78,78,70,71,70,95,18,28,80,10,20,22,98,79,2,20,50,68.
请建立数学模型找出一个较好的支配集；画出该120个装置的分配图，并在此图上标出所找到的支配集。
B2 对于你在A2问题中给出的装置分配图，找出一个较好的支配集；并在原装置分配图上标出该支配集。
B3 建立寻找连通支配集的数学模型，并对B1中给定的含120个装置的遥测遥感网和A2问题中给出的装置分配图分别求出元素个数较少的连通支配集，且在原装置分配图上标出该连通支配集。

B题:加工业生产的稳态模拟问题
某工厂共有50机床加工原料，另配有4台备用机床，当正在加工的机床发生故障时，立即将备用机床投入生产过程，而发生故障的机床则移至由三名修理工组成的机修组进行修理，假定一台机床只由一名工人操作使用，维修时也只由一名修理工修理。经过实际调查，机床发生故障的间隔时间服从均值等于157小时的指数分布，一名修理工修理一台机床的时间服从[4,10]小时之间的均匀分布。进入修理状态的机床修理完成后成为备用机床待用状态。此系统的工作流程如图所示。

（图略）

为符合加工的实际情况，我们还制定两条规则：
1.某机床发生故障直接交给修理工修理时，总是送给休息时间最久的修理工。
2.某机床修理完成，若直接交给工人加工时，总是送给休息时间最久的工人。
管理部门要求了解机床用于生产的利用率、处于备用状态的机床数、等待修理的机床数以及机床和修理工忙期的平均值等，以便对此维修策略进行评价。
对于这个稳态模拟问题，我们可考虑该系统运行三年（共156周）的情况，并假设每周工作5天，每天工作8小时。
请建立数学模型以分析整个生产系统的特性（最少有多少台机器同时在运行；最多有多少台机器在等候修理；平均每小时有多少工人处于工作状态；平均每小时有多少修理工处于工作状态；平均每小时有多少台机器在等待修理；等等。）；进一步研究生产工人人数和修理工人人数变化对生产系统运行情况的影响，给出最优的人事安排方案。

C题:房地产价格指数问题
     房地产价格是一个备受关注的问题。现在请你就以下几个方面的问题进行讨论：
1．给出你的房地产价格指数的定义（考虑房子所处的位置（交通，学校，医院，商场….等等），房子的户型，房子的楼层，房子的朝向，小区的大小和绿化，房子的开发商，物业，房子的质量，噪音大小，空气….等等）。
2．请您用google搜索南宁近两年来的房子销售情况表（单位：月，数据≥10）；对你的上述房地产价格指数的定义做简化，给出一个简化的南宁的房地产价格指数的定义。现假设：以你搜索到的南宁的房子月销售情况表中，时间最早的那个月南宁的房地产价格指数为100，利用你简化的南宁房地产价格指数的定义，计算其他时间南宁的房地产价格指数。
3．请您用google搜索相应时间南宁的物价指数，并建立南宁房地产价格指数与南宁物价指数的关系模型。现假设：将来的某个月南宁的物价指数，是你搜索到的南宁房子月销售情况表中时间最早的那个月南宁物价指数的100倍，请你预测将来这个月南宁的房地产价格指数。
4．如果你准备在南宁买房，请你结合模型的应用，谈谈怎样去把握买房的时机。

声明: 本文采用 BY-NC-SA 协议进行授权 | 数学建模网—SHUMO.COM
转载请注明转自《广西民族大学2010数学建模竞赛题目》