第二十讲 运筹学模型（4）——目标规划模型（续）

yunjiang

<b>例1 多目标生产计划问题</b>　　<b>
　　</b>目标规划模型的求解
　　我们还是用图解法讨论目标规划的解法，为方便起见，对上一讲建立的模型进行讨论，并且暂不考虑产品比例这个第三优先级，于是该问题的模型是
　　 <SUB><IMG src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_20/htm/sxjm20.files/image002.gif">
　　　</SUB><SUB><IMG src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_20/htm/sxjm20.files/image004.gif">
　　</SUB>以<I>x</I><SUB>1</SUB>和<I>x</I><SUB>2</SUB>为轴建立平面直角坐标系，然后将关于<I>x</I><SUB>1</SUB>和<I>x</I><SUB>2</SUB>的直线方程画出，可得图4－３。由此图，我们来分析其最优解。
　　　　<IMG src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_20/htm/sxjm20.files/image092.gif">
　　　　　　　　　　　　　图 4－３

yunjiang

　　首先，由于系统约束必须满足，故解域为四边形ABHO，即若是该问题的解，则必须在此四边形内，其次要涉及目标约束。此时，由于有优先级别，故有如下考虑问题的程式：
　　首先考虑第一优先级<I>p</I><SUB>1</SUB>，其所对应的是直线（1.10）：7<I>x</I><SUB>1</SUB>+12<I>x</I><SUB>2</SUB>=420。
　　显然在该直线上的点，必有<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_20/htm/sxjm20.files/image008.gif"></SUB>其左下方的点，自然有
　　　　　　 <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_20/htm/sxjm20.files/image010.gif"> </SUB>。
　　这相当于 <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_20/htm/sxjm20.files/image012.gif"> </SUB>  
　　而<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_20/htm/sxjm20.files/image014.gif"> </SUB>反之右上方点满足<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_20/htm/sxjm20.files/image016.gif"> </SUB>因为要求<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_20/htm/sxjm20.files/image018.gif"></SUB>达最小，于是应取该直线上方的点，这就使可行域缩小为ΔEBC。再考虑第二优先级<I></I><SUB>2</SUB>，同上分析，由于要求<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_20/htm/sxjm20.files/image020.gif"></SUB>达最小，故应取直线（4.11）上的点，才有<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_20/htm/sxjm20.files/image022.gif"></SUB>同时最小，而第二条直线与三角形EBC仅有一个交点C，故知C点应为本题的最满意解点，联立约束直线方程（4.10）、（4.11）、（4.12）即得C点为<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_20/htm/sxjm20.files/image024.gif">
</SUB>

yunjiang

<b>　　模型分析</b>
　　1．可验算而知利润指标恰好达到420百元，原料恰好全部用，即达到两目标要求。不仅如此，可验算而知设备台时指标也恰好完成，而劳动力节约了16个。这说明方案是可取的，上面对该问题的分析是合理的。
　　2．上述分析是在取消第三优先级情形下得到的，现在让我们进一步考虑<I>p</I><SUB>3</SUB>。明显地，若考虑第三优先级达标（<I>x</I><SUB>1</SUB>=<I>x</I><SUB>2</SUB>），则必非C点。这就是说，若考虑第三级，必然破坏第二优先级（因为满足前两级的点仅有一个），这不符合我们的优先级考虑，除非将产品比例作为第二优先级，我们不妨试一下。
　　此时第一优先级不变，故解域仍为ΔEBC。现考虑产品比例，相应的目标约束为<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_20/htm/sxjm20.files/image026.gif"></SUB>，它所对应的直线为<I>x</I><SUB>1</SUB>=<I>x</I><SUB>2</SUB>。该直线通过ΔEBC内部，故若同时满足<I>p</I><SUB>1</SUB>和<I>p</I><SUB>2</SUB>（注意对<I>p</I><SUB>2</SUB>讲，由于要求<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_20/htm/sxjm20.files/image028.gif"></SUB>达最小，故只有直线<I>x</I><SUB>1</SUB>=<I>x</I><SUB>2</SUB>上点满足要求），只有直线<I>x</I><SUB>1</SUB>=<I>x</I><SUB>2</SUB>上位于ΔEBC内一段，其上任一点都是满意解，决策者可据情而择之。比如希望利润尽量大些，则应取直线<I>x</I><SUB>1</SUB>=<I>x</I><SUB>2</SUB>与直线（4.12）的交点；<I>x</I><SUB>1</SUB>=<I>x</I><SUB>2</SUB>=200/9，此时利润达422百元多，而原料尚余1吨多。
　　其实，按前述方案，产品比例为15：14，已基本上满足1：1的要求，故亦可做为后一方案的满意解，其优点是原料全转化为利润，设备台时充分利用且节约了16个劳动力。
　　3．上述的图解法也仅仅适用于两个决策变量情形。

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　下面再介绍一个具体实例，以进一步熟悉目标规划模型的建立方法。　　
　　<b>例2</b>  某工厂生产代号为Ⅰ、Ⅱ的两种产品，这两种产品都要经甲、乙两个车间加工，并经检验与销售两部门处理。已知甲、乙两车间每月可用生产工时分别为120小时和150小时，每小时费用分别为80元和20元，其它数据如表4—4。
　　工厂领导希望给出一个可行性生产方案，使生产销售及检验等方面都能达标。
　　问题分析与模型假设
　　经与工厂总经理交谈，确定下列几个目标：
　　　　　　　　　　　　　　　表4－4
　　<img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_20/htm/sxjm20.files/image093.gif">
　　<I>p</I><SUB>1</SUB>：检验和销售费每月不超过4600元；
<I>　　</I><I>p</I><SUB>2</SUB>：每月售出产品I不少于50件；
<I>　　</I><I>p</I><SUB>3</SUB>：两车间的生产工时充分利用（重要性权系数按两车间每小时费用比确定）；
<I>　　</I><I>p</I><SUB>4</SUB>：甲车间加班不超过20小时；
<I>　　</I><I>p</I><SUB>5</SUB>：每月售出产品Ⅱ不少于80件；
<I>　　</I><I>p</I><SUB>6</SUB>：两车间加班总时数要有控制（对权系数分配参照第三优先级）。

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　<b>模型建立 </b>
　　设<I>x</I><SUB>1</SUB>，<I>x</I><SUB>2</SUB>分别为产品Ⅰ和Ⅱ的月产量，依题设
　　<img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_20/htm/sxjm20.files/image094.gif">
　　<img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_20/htm/sxjm20.files/image095.gif">
　　<img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_20/htm/sxjm20.files/image096.gif">
　　 设<I>d</I><SUB>1</SUB>表检验销售费偏差，则希望<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_20/htm/sxjm20.files/image047.gif"></SUB>达最小，有<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_20/htm/sxjm20.files/image049.gif"></SUB>相应的目标约束为<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_20/htm/sxjm20.files/image051.gif"> </SUB>
　　以<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_20/htm/sxjm20.files/image053.gif"></SUB>表示产品I售量偏差，则希望<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_20/htm/sxjm20.files/image055.gif"></SUB>达最小，有<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_20/htm/sxjm20.files/image057.gif"></SUB>相应的目标约束<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_20/htm/sxjm20.files/image059.gif"> </SUB>
　　以<I>d</I><SUB>3</SUB>、<I>d</I><SUB>4</SUB>表示两车间生产工时偏差，则由于要求充分利用两车间生产工时，故希望<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_20/htm/sxjm20.files/image061.gif"> </SUB>都达最小，考虑到费用比例为80：20=4：1，有<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_20/htm/sxjm20.files/image063.gif"> </SUB>。相应的目标约束应为
<SUB>　　　　　　　　<img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_20/htm/sxjm20.files/image065.gif"> </SUB>
　　　　　　　<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_20/htm/sxjm20.files/image067.gif"> </SUB>
　　以<I>d</I><SUB>5</SUB>表甲车间加班偏差，则有<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_20/htm/sxjm20.files/image069.gif"> </SUB>相应目标约束为<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_20/htm/sxjm20.files/image071.gif"> </SUB>最后用<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_20/htm/sxjm20.files/image073.gif"></SUB>表产品Ⅱ售量偏差，则希望<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_20/htm/sxjm20.files/image075.gif"></SUB>达最小，有<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_20/htm/sxjm20.files/image077.gif"></SUB>相应约束为<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_20/htm/sxjm20.files/image079.gif"> </SUB>　　

yunjiang

　　注意到优先级<I>p</I><SUB>6</SUB>可利用<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_20/htm/sxjm20.files/image081.gif"> </SUB>表示，考虑到权系数，有<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_20/htm/sxjm20.files/image083.gif"> </SUB>其目标约束由于利用超生产工时，已在工时限制中体现，于是得到该问题的目标规划模型为<B>
　　 <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_20/htm/sxjm20.files/image085.gif"> </SUB> <SUB> 　　
　　　　　　　　 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_20/htm/sxjm20.files/image087.gif"> </SUB>
　　 <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_20/htm/sxjm20.files/image089.gif">
</SUB></B>

yunjiang

<b>　　模型求解与分析</b>
　　1）使用单纯形解法或图解法可求得满意解为 <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_20/htm/sxjm20.files/image091.gif"> </SUB>可见，第一优先级达目标，且省下900元检验销售费用，第二、三、四级也均已达标。由于第五、六级未达标，故产品Ⅱ销量仅完成一半，总加班工时超标40单位。
　　总利润值为100×50+75×40=8000元/月。
　　2）目标规划的最后结果具有模糊性，即可能令人满意也可能令人失望，这主要是因为在构模时需要事先拟定目标值，优先级和权系数，而这些信息往往主要来自人的主观判断。因此，需要决策人或决策集团具有较高的科学管理水平，丰富的业务经验和及时而准确的内外界有关信息。
　　关于目标规划模型，我们就讨论到此。这部分内容，我们重点要求大家善于建立其模型，而求解仅要求会用图解法即可。

duanshumo

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coeeoc

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gu19797140

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