第三讲 建模方法论（2）——问题分析与模型假设（续）

yunjiang

<>　　<B>例</B><B>6</B> （第一届北京高中数学知识应用竞赛初赛题目）改革开放以来，土地承包制成为基本政策，经常会遇到类似下面的问题。
　　北京怀柔县某村一家农民承包了100亩地。土地租用费每亩50元/年，农业税每亩10元/年；根据当地气候条件，可以种植小麦，玉米和花生，其种植周期是：10月份（秋天）收玉米后可种冬小麦，第二年6月（夏天）收割小麦，6月份收割小麦后可种玉米，10月份收割玉米，4月份种花生，10月份收割花生，收割花生后可种冬小麦。有关冬小麦、花生、玉米三种作物的收支价格及产量如表1—1所示。
　　<a href="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_03/htm/01.htm#" target="_blank" ><FONT color=#0000cc>表1—1</FONT></A>
　　其中前8项单位均为元/亩。
　　此外，这位农民每年必须完成20000公斤小麦公粮，每年留足全家1000公斤口粮，另外根据市场预测，1996年花生种植面积不宜超过20亩，1997年不宜再种花生。试问：这位农民如何安排从1995年10月秋种至1997年10月秋收的两年生产计划，使他既能完成公粮征购任务，又能留够口粮，并且在100亩土地上取得最大收益?</P>

<><a href="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_03/htm/01.htm#" target="_blank" ><FONT color=#0000cc>表1—1</FONT></A> </P>
<><IMG src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_03/htm/sxjm3.files/b2.gif"></P>

yunjiang

　<B>问题分析</B>
　　建模目的是给定一个作物种植计划，使得这位农民能获得最大收益，但同时要求他完成公粮上缴任务并留足口粮。这自然是一个伴随某些限制性条件的优化问题，故属于有约束极值问题，其模型通常由两部分构成，一部分是收益函数，我们自然希望它达到最大，称之为目标函数；另一部分是一些必须满足的限制性条件，称之为约束条件。先来考虑最大收益这个目标函数。所谓最大收益应该是总收入与总支出的差，于是有以下分析过程。
　　首先，要搞清总支出项目，据题设有三项支出：
　　①土地租用费，注意总承包期为两年，故这块费用为<SUB> 　　<img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_03/htm/sxjm3.files/image004.gif"> </SUB>。
　　②农业税费，：<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_03/htm/sxjm3.files/image006.gif"> </SUB>。
　　③种植三种植物的各项费用支出，即数据表中前8列数字之和为：
　　冬小麦支出费为278元／亩?
　　玉米支出费为170元／亩
　　花生支出费为170元／亩
　　其次搞清总收入项目，据题意有三项：
　　①各种作物的毛收益，即数据表中后两列之积，冬小麦为504元／亩，玉米为492元／亩，花生为775元／亩
　　②扣除种植支出为纯收益：冬小麦504－278=226元／亩，玉米为322元／亩，花生为605元／亩。
　　③各种作物种植亩数。依据问题中提出的种植周期及承包期（从1995年10月秋天到1997年10月秋天）及市场预测，可见两年内只能有以下两种种植模式：
　　模式I：1995年秋种冬小麦<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_03/htm/sxjm3.files/image008.gif"> </SUB>1996年夏收后种玉米<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_03/htm/sxjm3.files/image009.gif"> </SUB>当年秋收完再种冬小麦<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_03/htm/sxjm3.files/image010.gif"> </SUB>1997年夏收后种玉米<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_03/htm/sxjm3.files/image011.gif"> </SUB>当年秋收玉米。
　　模式II：1995年不种作物<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_03/htm/sxjm3.files/image012.gif"> </SUB>1996年春天种花生<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_03/htm/sxjm3.files/image013.gif"> </SUB>当年秋收后种冬小麦<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_03/htm/sxjm3.files/image014.gif"> </SUB>1997年夏收后种玉米<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_03/htm/sxjm3.files/image015.gif"> </SUB>1997年秋收玉米。
　　那么，按模式I（即两轮冬小麦加两轮玉米），两年纯收入为
<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_03/htm/sxjm3.files/image017.gif"> </SUB>
按模式II（即冬小麦、玉米和花生各一轮），两年纯收入为
<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_03/htm/sxjm3.files/image019.gif"> </SUB>
　　请注意，以上分析中我们实际上是在某些条件保持不变作为前提的，否则上述分析都将是错误的。而在中学数学范畴，这是允许的，但须将它们在模型假设中给予表述。
<B>　　</B><B>模型假设
　　</B>1．承包两年内各种作物的价格不变，亩产量也不变；
　　2．不计承包人自已的工资等支出；
　　3．卖公粮与卖余粮价格相同。
<B><I>　　</I></B>思考：若不做上述假设，请你做出其更符合实际的问题分析与假设。

yunjiang

<b>　　例7  </b> 森林救火模型
　　<b>问题的提出 </b>
　　森林失火了！消防站接到火警后，立即决定派消防队员前去救火<I>。</I>一般情况下，派往的队员越多，火被扑灭的越快，火灾所造成的损失越小，但是救援的开支就越大；相反，派往的队员越少，救援开支越少，但灭火时间越长，而且可能由于不能及时灭火而造成更大的损失，那末消防站应派出多少队员前去救火呢？
　　<b>问题分析</b>
　　如题中所述，森林救火问题与派出的消防队员的人数密切相关，应综合考虑森林损失费和救援费，以总费用最小为目标来确定派出的消防队员的人数使总费用最小。<I></I>
　　 救火的总费用由损失费和救援费两部分组成。损失费由森林被烧毁的面积大小决定 ，而烧毁面积与失火、灭火（指火被扑灭）的时间（即火灾持续的时间）有关，灭火时间又取决于参加灭火的队员的数目，队员越多灭火越快<I>。</I>救援费除与队员人数有关外，也与灭火时间长短有关。救援费可具体分为两部分：一部分是灭火器材的消耗及消防队员的薪金等，与队员人数及灭火时间均有关；另一部分是运送队员和器材等一次性支出，只与队员人数有关。
　　 设火灾发生时刻为<I>t</I>=0，开始救火时刻为<I>t </I>=<I>t</I><SUB>1</SUB>，灭火时刻为<I>t</I> =<I>t</I><SUB>2</SUB>，<I>t</I> 时刻森林烧毁面积为<I>B</I>（<I>t</I>），则造成损失的被烧毁的森林的面积为<I>B</I>（<I>t</I><SUB>2</SUB>），而<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_03/htm/sxjm3.files/image021.gif"> </SUB>是森林被烧毁的速度，也表示了火势蔓延的程度。从火灾发生时刻开始到火被扑灭的过程中，被烧毁的森林的面积是不断扩大的，因而<I>B</I>（<I>t</I>）应是时间<I>t</I>的单调非减的函数，即<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_03/htm/sxjm3.files/image023.gif"> </SUB>。从火灾发生到消防队员到达并开始救火这段时间内，火势是越来越大的，即<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_03/htm/sxjm3.files/image025.gif"> </SUB>。开始救火以后，即<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_03/htm/sxjm3.files/image027.gif"> </SUB>时，如果队员灭火能力足够强，火势会越来越小，即<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_03/htm/sxjm3.files/image029.gif"> </SUB>，并且当<I>t</I> =<I>t</I><SUB>2</SUB>时，<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_03/htm/sxjm3.files/image031.gif"> </SUB>。
　　在建立数学模型之前，需要对烧毁森林的损失费、救援费及火势蔓延程度<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_03/htm/sxjm3.files/image033.gif"> </SUB>作出合理的假设。

yunjiang

<b>　　模型假设
</b>　　1．森林中树木分布均匀，而且火灾是在无风的条件下发生的；
　　2．损失费与森林烧毁面积<I>B</I>（<I>t</I><SUB>2</SUB>）成正比，比例系数为<I>c</I><SUB>1</SUB>，即烧毁单位面积的损失费为<I>c</I><SUB>1</SUB>；
　　3．从失火到开始救火这段时间内，火势蔓延程度<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_03/htm/sxjm3.files/image034.gif"> </SUB>与时间<I>t </I>成正比，比例系数为β，称之为火势蔓延速度，即
　　　　　　　 <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_03/htm/sxjm3.files/image036.gif"> </SUB>
　　4．派出消防队员<I>x</I>名，开始救火以后（<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_03/htm/sxjm3.files/image038.gif"> </SUB>），火势蔓延速度降为<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_03/htm/sxjm3.files/image040.gif"> </SUB>（线性化），其中<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_03/htm/sxjm3.files/image042.gif"> </SUB>可视为每个队员的平均灭火速度，且有<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_03/htm/sxjm3.files/image044.gif"> </SUB>，因为要扑灭森林大火，灭火速度必须大于火势蔓延的速度，否则火势将难以控制；
　　5．每个消防队员单位时间费用为<I>c</I><SUB>2</SUB>（包括灭火器材料的消耗及消防队员的薪金等），救火时间为<I>t</I><SUB>2</SUB>-<I>t</I><SUB>1</SUB>，于是每个队员的救火费用为<I>c</I><SUB>2</SUB>（<I>t</I><SUB>2</SUB>-<I>t</I><SUB>1</SUB>）；每个队员的一次性支出为<I>c</I><SUB>3</SUB>（运送队员、器材等一次性支出）。<I>
　　</I>对于假设3可作如下解释：由于森林中树木分布均匀，且火灾是在无风条件下发生的，因而火势可看作以失火点为中心，以均匀速度向四周呈圆形蔓延，因而蔓延半径<I>r</I>与时间<I>t</I>成正比，又因为烧毁面积<I>B</I>与<I>r</I><SUP>2</SUP>成正比，故<I>B</I> 与<I>t</I><SUP>2</SUP>成正比，从而<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_03/htm/sxjm3.files/image045.gif"> </SUB>与<I>t</I> 成正比。<I>
</I>　　本例所做问题分析与模型假设比较前述例子更具一般性，其主要特点是有许多数据不是给定的，而是依据建模需要自行设定，需要的话，还要去进行调查有关部门和相关资料，甚至可以依问题具体情形自行设定。这些在建模过程中都是允许的也是常见的。

yunjiang

　　<b>例8</b>  展馆安全配置问题（北京市高中数学知识应用竞赛试题）
　　某市准备举行书画展览，为了保证展品安全，展览的保卫部门准备安排保安员值班。展览大厅是长方形，内设均匀分布的<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_03/htm/sxjm3.files/image047.gif"> </SUB>个长方形展区，展览的书画被挂在每个展区的外墙上，参观者在通道上浏览书画作品，试为展览单位设计一个保安分布方案，使得保安员人数最少又能保证安全。
　　<img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_03/htm/sxjm3.files/image049.jpg">
　　 　　　　　　　　　　　　　图1—4
　　<b>问题分析</b>
　　这类问题在我国的超市、书店等单位是常见的。现在的问题是如何布防最少的保安员，使展品安全。为了获得解答，不妨从特殊情形出发来推一般情形下的结论（这是很常用的一种推理方法，也是发现和发明中常见的作法，在例1的方桌问题中也曾使用过）。
　　先看一个<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_03/htm/sxjm3.files/image051.gif"> </SUB>情形。如图1-4，并注意书画被挂在展区外墙的意思是长方形展区的四周均有书画，则易于看出，只要配置5个保安员就够了。当然，这5个保安员的监视范围已被界定：左右两侧和正前方，呈现一个“<I>T</I>”形区域；保安员位置一旦确定便不能再动，转身都不允许的，否则会失去监视区域。
　　不妨再作一个<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_03/htm/sxjm3.files/image053.gif"> </SUB>情形，<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_03/htm/sxjm3.files/image055.gif"> </SUB>情形，以便寻求规律性：<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_03/htm/sxjm3.files/image056.gif"> </SUB>个展区需5个保安，而5恰等于3+4-2；<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_03/htm/sxjm3.files/image058.gif"> </SUB>展区需6个保安，而6恰又等于3+5-2；<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_03/htm/sxjm3.files/image059.gif"> </SUB>展区需要4+5-2=7个保安等。于是对<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_03/htm/sxjm3.files/image061.gif"> </SUB>个展区至少需要多少保安便心中有数了。一个猜想便产生了。但毕竟是特殊情形得到的猜想，因此要进行一般性证明。

yunjiang

　　<B>练习题</B><B> </B>试对以下实际问题作出其问题分析和模型假设：
　　1．有一大堆油腻的盘子和一盆热的洗涤剂水，水的温度足以洗掉油腻，也适合你的手浸入其中。洗涤过程到水逐渐变凉以至最后凉得不能彻底洗净盘子为止。问题：一盆热洗涤剂水能洗净多少只盘子？（提示：先列出有关因素，再进行分析和提出假设，查阅相关的物理数据似不可避免）

duanshumo

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coeeoc

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alone1224

我要在高等职业学院里开始数学建模课程，不知道您能否提供帮助！我的QQ是158208837邮箱是<a href="mailtalone1224@163.com" target="_blank" >alone1224@163.com</A>