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第二讲 建模方法论(1)——问题分析与模型假设

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发表于 2004-7-22 09:41:46 | 显示全部楼层 |阅读模式
<>  “问题分析”与“模型假设”是前述五步建模法的头两步,也是整个数学建模最关键的两步,这两步的成功与否将决定整个数学建模过程的成败。
  问题分析也常称为模型准备或问题重述。由于数学模型是建立数学与实际现象之间的桥梁,因此,首要的工作是要设法用数学的语言表述实际现象。所谓问题重述是指把实际现象尽量地使用贴近数学的语言进行重新描述。为此,要充分了解问题的实际背景,明确建模的目的,尽可能弄清对象的特征,并为此搜集必需的各种信息或数据。要善于捕捉对象特征中隐含的数学因素,并将其一一列出(此时我们是不怕多的,只怕一个也列不出)。至此,我们便有了一个很好的开端,而有了这个良好的开端,不仅可以决定建模方向,初步确定用哪一类模型,而且对下面的各个步骤都将产生影响。
   <B>模型假设</B>是与问题分析紧密衔接的又一个重要步骤。根据对象的特征和建模目的,在问题分析基础上对问题进行必要的、合理的取舍简化,并使用精确的语言作出假设,这是建模至关重要的一步。这是因为,一个实际问题往往是复杂多变的,如不经过合理的简化假设,将很难于转化成数学模型,即便转化成功,也可能是一个复杂的难于求解的模型从而使建模归于失败。于是,我们必须忍痛割爱,从中舍去次要因素,抓住主要因素,进行必要的筛选;如果我们认定的主要因素还是觉得多的话,为了能顺利建模,也必须,或者说至少是暂时不予以考虑而舍弃,等到最后在模型分析时再给予考虑,或者在本模型建立中根本不予考虑。当然,假使作得不合理或过份简单也同样会因为与实际相去甚远而使建模归于失败。一般地,作出假设时要充分利用与问题相关的有关学科知识,充分发挥想象力和观察判断力,分清问题的主次,抓住主要因素,舍弃次要因素。
  另一方面,在我们选定的因素里,为建模需要,也常常要进行合理的简化,诸如线性化,均匀化,理想化等近似化处理,这也是满足建模所用数学方法必须的前提条件。当然,假设不能违背实际问题主要特征和建模目的。有人说,进行假设的目的就在于在第一步中列出的各种因素中选出主要因素,忽略非本质因素,即使问题简化以便进行数学处理,又抓住了问题的本质,是不无道理的。另外,为建模顺利,写出假设时,语言要准确,就象作习题时写出已知条件一样。所有这些就是模型假设这一步要做的工作。易见,问题分析与模型假设的重要地位。以下,我们结合例子给予说明。</P>
 楼主| 发表于 2004-7-22 09:42:27 | 显示全部楼层
<> <b>例1</b>  (方桌问题)日常生活中经常碰到这样的事情:把方桌置于地面上时,常常是只有三只脚着地而放不稳,通常需要调整几次方可将方桌放稳,试用数学语言对此问题给以表述,并用数学工具给予说明:方桌能否在地面上放稳?若能,请给予证明并给出做法,否则说明理由。
  我们来看看这个似乎与数学毫无关系的实际问题怎样一步步转化为数学问题,并用数学工具给以证明的。
  <B>问题分析</B>
  所谓方桌能否在地面放稳是指方桌的四个脚能否同时着地,而四个桌脚是否同时着地是指四个桌脚与地面的距离是否同时为零。于是我们可以转而研究四个桌脚与地面的距离是否同时等于零。这个距离显然是变化的,于是可视为函数,那么作为函数,它随哪个量的改变而改变? 构造这个距离函数成为主要建模目的。
  为了构造函数和设定相关参数,让我们实际操作一下,从中搜集信息,弄清其特征(这也是建模中常用的策略)。要想四个桌脚同时着地,通常有两种方法,其一是将方桌搬离原地,换个位置试验,另一个做法是在原地进行旋转试验。前法需要研究的范围可能要很大,这里采取第二种做法(请读者一定做一下:沿逆时针或顺时针慢慢旋转几个小角度即可)。易得出结论:<B>只要地面相对平坦,没有地面大起大落情况,</B>那么随着旋转角度的不同,三只脚同时落地后,第四只脚与地面距离也不同而逐渐归于落地。注意,旋转中总有两个脚同时着地,而另两个脚不稳定。也就是说,这个距离与旋转角度有关,是旋转角度的函数,于是一个确定的函数关系找到了。不仅如此,我们的问题也顺其自然地转化为:是否存在一角度,使得四个距离函数同时为零?
   综上分析,问题可以归结为证明函数的零点的存在性,遂决定试用函数模型予以处理。
   请注意上述内容中的黑体字,它实际上蕴涵了使方桌放稳的一些前提条件,而这些往往是下一步我们要做出的假设的部分内容。就此,我们来给出本问题的模型假设如下:</P>
 楼主| 发表于 2004-7-22 09:42:40 | 显示全部楼层
<b>  </b> <B>模型假设</B>
   1.桌子的四条腿同长(这个假设显然合理,而且避免了问题与桌腿长度有关使问题变复杂,但在问题分析中没有注意到)。
   2.将方桌的桌脚与地面接触处看成是一个几何点,四脚连线为正方形(这是因为问题本身考虑的是能否四脚着地而与桌腿样式、粗细、质地等无关。象这样将问题抽象化,将易于在数学上进行处理)。
   3.地面相对平坦,即在旋转所在地面范围内,方桌在任何位置至少有三只脚同时着地(自然这是符合实际的合理假设,也是我们在问题分析中注意到了的)。
  4.地面高度连续变化,即可视地面为数学上的连续曲面(这样,所设的高度函数便成为角度的连续函数)。
  在上述假设之下,我们所设的高度函数是定义在角度区间[0,2<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_02/htm/sxjm2.files/image002.gif"> </SUB>]上的连续函数。若设角度为<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_02/htm/sxjm2.files/image004.gif"> </SUB>,则可写高度函数为<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_02/htm/sxjm2.files/image006.gif"> </SUB>。至于其模型建立就不在话下了。
 楼主| 发表于 2004-7-22 09:43:01 | 显示全部楼层
<b> 例2</b> (走路问题)考虑如下问题:人在匀速行走时,步长多大才能最省力?
  <B>问题分析</B><B> </B>
  所谓省力是指走步所作的功最少,走步时步长过大或过小都不省力,因而必有一个合适的步长,使作功最少(作功大小应是步长的函数)。当然,所做功还与许多因素有关,譬如提高人体重心所需势能,两腿运动所需动能(可由数学公式表达);所穿衣物多少,是否负有重物,穿的鞋子是否轻便,行走地面是否平坦、干燥,走路时腿的运动形式(可否都用数学语言表达?)等。建模目标:求一个功函数,它应该是步长的函数。
  <B>模型假设</B>
  为了简化问题,先做如下假设:
  1.人行走时所作的功由两部份组成:抬高人体重心所需势能与两腿前后运动所需动能。暂不考虑负重(划定主要因素)。
  2.运动与所穿鞋子、衣服情况无关,地面是相对平坦而干燥的(舍弃次要因素)。
  3.人的行走可视为腿(直杆)绕腰部的转动(理想化表达)。
  4.设定下列参量:
<I>  M</I><I>——</I>人的体重;<I>m</I>——人的腿重;<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_02/htm/sxjm2.files/image008.gif"> </SUB>——人的腿长;<I>v</I>——行走速度;<I>n</I>——单位时间行走的步数;<I>x</I>——步长
  有了以上分析和假设,我们只须根据物理中的势能公式和动能公式计算出运动所做的势能和动能(他们自然是步长的函数),然后求其最小值即可。
 楼主| 发表于 2004-7-22 09:43:26 | 显示全部楼层
  <b>例3</b> (热传导问题) 在比较寒冷的北方城镇,双层玻璃密封窗使用的十分普遍。这种窗户上的玻璃是双层的,两层玻璃中间有一定空隙,利用橡胶制品将中间的空气与外界隔离开制成。据说这种窗户保暖效果比过去沿用多年的单层玻璃窗要好,试建立其数学模型以描述双层玻璃密封窗的保温功能。
  <B>问题分析</B>
  1.建模目的是分析双层玻璃密封窗的保温功能。所谓窗户的保温效果是指室内的热量通过玻璃窗散发出去的量的分析,它与室内室外的温度有关系,与窗户的密封情况、玻璃材料,以及房间大门的保温情况也有关。
  2.双层玻璃密封窗保温效果的优与劣自然是相对于单层玻璃窗保温效果来说的,故可以通过对比方式来研究效果。
  3.关于热量扩散问题,应查阅相关物理资料以备用。
  <B>模型假设</B>
  1.两层玻璃的密封性能很好,即其中间的空气是不流动的,这样,热量的传播过程只有传导而没有对流,故此属热传导问题(抓住主要因素)。
  2.设室内温度T<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_02/htm/sxjm2.files/image010.gif"> </SUB>,室外温度T<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_02/htm/sxjm2.files/image012.gif"> </SUB>均为常数,即沿热传导方向,单位时间通过单位面积的热量是常数。
  3.玻璃材料均匀,热传导系数为常数(此与假设2同为均匀化和理想化处理,使模型便于处理又不失合理性)。
  4.室内温度从其它途径(门等)传播情况忽略不计(忽略非主要因素影响)。
  有了上述分析和假设,就可以建立两种不同玻璃窗热量传导值,从而通过比较其大小说明问题了。
 楼主| 发表于 2004-7-22 09:44:15 | 显示全部楼层
  <b>例4</b>  (宇宙速度问题) 众所周知,数值7.9km/秒与11.2km/秒被称为第一与第二宇宙速度,那么它们是怎么得到的?如此精确的数量结果恐怕除使用数学模型外的其它方法是难已获得的。限于本书范围,这里仅建立能够获得第二宇宙速度的一个数学模型来展现数学建模的特点与重要作用。
<B>  问题分析
  </B>卫星发射情形大家至少都在电视中见过:一枚运载火箭竖立于发射架上,一旦点火,火箭便腾空而起飞向太空。火箭的去向大体上有两个,其一是摆脱地球引力而飞向远方,其二是不脱离地球引力范围而沿着固定轨道绕地球运行。前者恐怕要去探测其它行星的秘密,后者便是人们所说的人造地球卫星。不论哪种情形,有两个基本原理在起着关键作用:一个是它们都属于运动模型,故应首先考虑牛顿运动定律的应用;另一个是它们的飞行均与地球引力直接相关,因此,还要考虑万有引力定律的的运用。另外,卫星质量,火箭质量及其流线形式,还有那个不可忽视的空气阻力等都应在考虑之列。
  <B>模型假设</B>
  1.视火箭及其搭载物为一个质量为定数的物体,与火箭搭载物的形状,大小和尺寸等无关(简单化)。
  2.火箭的升天过程视为一个物体在地球表面被垂直上抛的过程(实际情况)。
  3.为使模型简单,忽略物体飞行中的空气阻力不计(理想化)。
  4.设定如下参量:
  <I>m</I>——被垂直上抛的物体质量,
<I>  </I><I>M</I>——地球质量;
<I>  </I><I>R</I>——地球半径;
<I>  k</I>——万有引力常数(k&gt;0)
<I>  </I><I><SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_02/htm/sxjm2.files/image014.gif"></SUB></I> ——垂直上抛物体的初始速度。      
  这里,我们注意到一个似乎很不合理的假设:忽略空气阻力。事实上,空气阻力是不可避免的,而且是一个主要因素。那麽,这个大胆的理想化处理的结果如何?你只需继续做下去便可见分晓:它竟然给出了第二宇宙速度。然后,你不妨再将此因素考虑进来,看看所建模型的结果,你会有新的发现和体会的。
  在上述分析和假设之下,建立其模型已经是水到渠成。<B> </B>
 楼主| 发表于 2004-7-22 09:44:38 | 显示全部楼层
  <B>例</B><B>5</B>(七桥问题)
<B>  问题的提出
  </B>如图1—2。(背景从略) 能否从四块陆地A、B、C、D之一出发,走遍每座桥一次且仅一次然后回到出发地?<B>
       <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_02/htm/sxjm2.files/image016.gif"><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_02/htm/sxjm2.files/image018.jpg">


 
</B>


       图1—2<B>    </B>           图1—3<B>
  问题分析与模型假设
  </B>1. 问题的本质是能否从一地无重复地一次走遍七桥,因而与所走过的桥的大小、形状、长短曲直等均无关;
  2. 四块陆地可重复经历,至于陆地的大小、形状、质地等与问题的本质无关。
  3. 四块陆地按其所在大概位置设为四个点A、B、C、D,连接四块陆地的桥视为孤线。<B>
  </B>这样,对四个陆地代表点A、B、C、D,若其间有桥,则用一条弧线连接起来,有两座桥,则连两条不重合的弧线,便得到如图1—3所示的一个图,并称代表陆地的四个点为顶点,代表桥的弧线为边。这样一来,能否从一地出发走遍七座桥一次且仅一次再回到出发点就变成了:能否从这个图上任一顶点出发,经过每条边一次且仅一次而回到出发顶点。这就是众所周知的这个图能否“一笔画出”的问题。
  请注意,这张图就是一个图形化了的数学模型——图论模型。这个模型的关键特征是,仅保留一次过桥的本质属性,而将其它的无关本质的属性(点的大小和准确位置,边线的具体形状和长短等)全部舍弃。因此这种图论模型便仅剩下了一些顶点和连接顶点的边线,表示实际问题十分直观,简便和具有趣味性。注意,这种图并非真实图形按比例的放缩,连线的长也不代表实际上的长度,对直线,曲线也不加区别。因为我们的建模目的是探讨这个图是否能够一笔画出而非其它。
发表于 2004-7-24 00:42:10 | 显示全部楼层
谢谢你的帖子
发表于 2004-8-9 06:17:56 | 显示全部楼层
谢谢
发表于 2004-8-13 04:26:15 | 显示全部楼层
<>好贴</P>
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