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对于集合论悖论的不同解决方案

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发表于 2004-3-15 03:19:39 | 显示全部楼层 |阅读模式
2003, 5, 31 吴文成

  我预计要对悖论问题作一系列的讨论,讨论的顺序大概是这样:之前谈了罗素悖论(集合论悖论)如何被表述为逻辑悖论(语形悖论,以性质悖论为代表)与语义悖论,而这篇文章要谈的是,二十世纪初数学领域对于集合论悖论的不同解决方案,然后在另外的两篇文章中,再来谈谈哲学家们如何解决语义悖论,在这些解决方案都不能令人满意的情况下,我们来谈不同类型的悖论的共同特征与根源,这自然也就是在谈论理性自身的性质了,在人们遭遇悖论的过程当中,也揭示了理性认识的困境。 这一系列的讨论将是工程浩大的研究。
  先前《从罗素悖论看集合论悖论、逻辑悖论与语义悖论》一文中记述了康托悖论与罗素悖论,我们可以借着剖析这两个集合论悖论,来看看数学家如何开展他们各自不同的悖论解决方案。康托悖论的[U]基本概念[/U]是这样,令Q是所有集合的集合(我们称作大全集),令P是Q的羃集(P是由Q的所有子集合所组成的集合),根据羃集的定义,得知任一集合属于该集合的羃集,可以推出Q属于P;根据大全集的定义,得知任一集合都属于大全集,可以推出P属于Q。这两个相互矛盾的命题从而构成了悖论。显而易见地,康托悖论的根据有两个:一是存在有大全集,即存在着这样的集合,它以所有的集合为元素。二是任何的集合都有羃集,这一点也就是说,任一集合都可以扩充到一个以自身的所有子集为元素的[U]更大的集合[/U]。放弃掉这两点根据的任何一点,均可以使得康托悖论不再成立。
  我们再来看看罗素悖论,令S(我们称作罗素集)是所有[U]不以自身为元素的集合[/U]所构成的一个集合。具有某一性质的对象所构成的集合没有该性质,我们便说这样的集合是不以自身为元素的集合,例如「汤匙的集合」本身不是汤匙,「兔子的集合」本身也不是兔子,所有这样的集合便构成了S;但是像这个集合「不是汤匙的集合」本身就不是汤匙,它便不属于S,或是像「概念的集合」本身也是概念,它同样不属于S,所有不属于S的集合显然是那些以自身为元素的集合。根据集合的概念,对于任一集合而言,考虑「集合作为元素属于自身」是有意义的命题,考虑的结果配合排中律的说法是:任一集合要么属于自身,要么不属于自身。罗素悖论是这样形成的:如果S属于S,那么S属于那些不以自身为元素的集合,即S具有不以自身为元素的性质,便推出S不属于S;又如果S不属于S,那么S反而属于那些以自身为元素的集合,即S具有以自身为元素的性质,便推出S属于S。这两个相互矛盾的命题从而构成了悖论。
……详见http://alumni.nctu.edu.tw/~sinner/science/part_1/paradox1/page1.htm
 楼主| 发表于 2004-3-15 03:27:59 | 显示全部楼层
2002, 12, 18 吳文成
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