[原创]数学公理的前提适用范围

mathtalk · 发表于 2005-12-22 23:59:01

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>数学公理的前提适用范围
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>采用公理化建立数学，为什么不采用自然化而更加符合真实事实？换而言之，没有公理化就没有数学体系，公理化是数学理论基础的来源。数学里的公理是人为任意性的，公理只不过是导出结论的逻辑演绎基础而已，是存在有适用范围与前提条件的。所谓的公理化只不过是属于一种前置预设的约定规定的定义，然后再因此而进行演绎推导等后续性活动。
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数学公理化并不等于普遍化，公理化只是属于个别案例情况，受到前提条件的制约。我们所有的知识几乎都是相对某一范围，不具有完全普遍的意义，所以公设公理也只能在一定条件下才具有真实可靠的意义。我们暂时先不讨论数学，先讨论数学的前提即存在着的事实，因为误解就发生在前提的事实上。
 
原理是从公理推导出来的，数学是在前提公理化规定后演绎的。可以在没有理中进行人为性制造理，通过假设假定来进行制造公理，然后通过公理来推导出来原理，然后再由原理而推导出来定理。所有的理都是通过人为性规定各种而推导出来的，而不是真实自然之理。
 
论证来源于直观事实，将未经证明证实或解释的事实作为假设假定来进行推理论证。在技术上只要是有效都是可行的，可是在认识上却无法行得通。公理也是通过人为性规定的，它并不能够成为检验数学正确与否的标准。于是不得不重新规定制造一个选择性公理来限制原来的公理。
 
公理化是表达我们意思的一种方法，可以起到没有矛盾的作用，但是本质上的和谐来自我们的直觉想象。形式上的推理在某些方面可以表达很多内容，如希尔伯特所说，点线面的概念可以代表许多事物，同样的表达同一个事物我们可以采用不同的形式。而公理化所表达的只不过是其中一种意思。将逻辑法则认定为真理体系，是对真理的阉割歪曲。数学是人为性规定的一个体系，并不是一个真理体系，所谓的真理只是表现了数学家们的良好愿望而已。数学的生命力的实质并不在于公理化，而在于实际应用上的需要，这才是数学生命力和价值的真正所在。正是数学具有这样的实用功效，并以此为动力推动了数学的发展，并且超越了实际直接应用上的界限。
 
用数学方法可以推得其它定理，却无法得到公理，这公理不是数学自身的产物，而是数学存在着必不可少的前提，没有公理数学体系就建立不起来。有些情况是这样有些情况又是那样的，我们现在常取舍符合我们人为性要求的，而不顾其它事实，但是对于另些则是无效，这是存在一定的有效性。超越了前提范围，问题就自然会暴露出来，这时我们还得再重新考虑范围以外的问题，当另些问题已解决时这时又出现了悖论问题，于是人们陷入了认识的怪圈之中无法自拔。
 
我们不应该害怕和反对消除悖论，悖论是一件好事，对我们有所启迪帮助，很容易发现问题的。数学悖论并不是一种危机，而带给人们的却是一种更加完整全面的清醒认识。应该准确地说逻辑只是某种局限的在适用范围内有效，否则产生悖论是很正常必然的。
 
理发师的故事，前后的前提是不一样的，如果混在一起则为悖论。不只是具有双值逻辑而是具有多值逻辑。它适用的前提基础，适用范围即前提限制，即优先确定在某一区域范围，这是由数学本身的特点所决定的，因为它本身就不是包罗万象全面适用的。即前提是存在即有效只在一定的前提条件下才是有效的。
 
数学只是在有限的条件范围内有效，这才是数学适用的前提条件。集合悖论产生于前提条件的公理系统，独立性与兼容性和一致性与完全性的同时采用，公理系统与形式系统的逻辑演绎方法无法解决这个问题。
 
众所周知，目前数学存在的逻辑主义、直觉主义、形式主义、集合论公理化主义、约定主义、实在主义、构造主义等派别。从不同的角度解释了对数学的看法或认识，仍然没有离开数学公理化的前提基础，还是没有人认真从自然真实去解释数学。应该是内容决定了形式，而不是形式决定了内容，这个关系应该澄清的，完全走公理化道路给人以许多误会，即以形式取代内容只是无奈的选择。
 
应该选择真实主义，因为真实是一切存在的基础，这样就不会偏离数学发展的正确方向。将自然界数学化是一个迷失方向的一种倾向。数学只是对事物现象进行定量描述，并没有对于实质原因进行描述，更不能因为数学存在有效性而取代认识上的先导地位。公理化体系的作用是在对某些原因并不清楚的前提下，以某些众所周知而又无法解释的事实作为公设公理，然后再进行一系列的演绎推理过程，使人们相信由此而推导出来的定理定律或结论是真实可靠的。
 
中国古人具有很强的数学计算能力，这是众所周知的事实，但是中国人的数学发现与逻辑演绎思想是没有太大关系。《周髀算经》《九章算术》等虽然具有极强的实际应用计算能力，却没有逻辑演绎证明。中国几何是以“非规矩不能定方圆，非准绳不能定曲直”的实用性来定义的，所以中国不会出现悖论的。中国数学是在实际应用中产生的，故以实际应用为衡量正确与错误等的标准，所以并不重视数学逻辑演绎或证明的作用。
 
数学前提条件基础
请不要忽视前提条件，概念前提如果发生问题，逻辑数理学也无可奈何，任何什么逻辑学、数学、哲学等各种学科都是建立在与其相互对应的前提下的一种结果，否则一切便是失效的。如所谓的同一律避免不了存在可能的虚假成分，往往是我们的语言等表征事物意义的符号概念定义具有一定的不完整性或不确定性，因符号常常是概括抽象的，无法完全表达真实内容。
 
在数学范畴内有效，数学是静止的，而现实是变化运动着的，当纳入现实中有些恐怕就是失效的。没有静止就没有数学和概念，但还应该看到运动与变化，数学只不过是暂时性稳定而已，并不完全真实可靠。因为在一般情况下应用使用，没有必要那么严格，在应用使用上并不牵扯这方面的内容，与这些作用内容是无关紧要的，即把一个不是静止的事物而当作是静止事物的对待处理，所以人们已就容易忽视这严格意义上的变化。数学的基础是公设的公理化或前提概念，数学离开了基础就是不可靠的，不是一个一个地变化而是整体变化。我们常常以人为性静止为思维的对象材料，才会对真实世界不理解，如果将这些人为静止性对象材料看作是真实自然中运动变化时那么将一切不难理解认识。
 
数学本身就是可以证明的，但是无法证实符号逻辑演绎体系的前提。所谓的数学证明也还是在公理化基础之上的演绎证明，不具有完全严格的确定性，具有一定的不完备性，只具有相对的真理性，逻辑证明再严密也毫无办法，问题关键是公理本身存在问题，即公设不证自明的事实存在多义性，它不是唯一的，是存在这种情况，但是还存在另外许多情况，为什么非要选唯一呢？这不是自身具有人为任意性。二条平行线永远不会相交，前提是问题你怎么看，在相对的真实视觉上是相交的，绝对的又不相交。
 
著名的哥德尔定理指出在任何数学公理体系下，总存在它不能做出判断的数学命题，既逻辑演绎也还存在有失效的地方。无论怎么严密证明，一旦纳入整体性全面来考虑问题肯定会暴露出来，因为它是以割裂为前提的，不具有普适性，只在规定的前提范围内有效。数学逻辑演绎证明是很严密的，可是它存在基础却是极其脆弱的。我们应该看到数学所具有的特点，但不应完全忽视前提基础。
 
数学将主要精力都集中投放在论证的证明或发现定理过程当中去了，而忽视或忽略了数学的前提基础，有公理化逻辑系统证明支持，前提基础成了无关紧要的了。摘自王浩著《哥德尔》294页：从1900至1910年间，罗素逐渐离开数学中的实在主义立场。1907年他宣读一篇文章，讲发现数学前提（即公理）的“回溯法”。按他的看法，“我们是因为能看出后承真才倾向于相信前提，不是因为知道前提真才相信后承。但是由后承推前提是归纳的本质，足见研究数学原理的方法其实是一种归纳方法。”由于许多数学家属于学习继承式的，在前辈们所设定的范围内进行数学思想活动，所以被前辈们的思想搞得无法自拔，再也无法看清真实的数学世界了，这是数学界流行的通病。
 
我们需要关于事物真相特征的解释说明，而不是关于特征的证明，每一种具体事物都存在独有的特征，世界上有无限多的具体事物，这种证明是毫无意义的。

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