第九讲 初等数学模型（2）——几何图示法建模实例

yunjiang

<>　　充分利用问题的几何图形往往有助于模型的建立，这是不言自明的。但确有相当一部分实际问题只需图示说明就足以解释实际现象，我们称这种建模方法为图示法。其特点是简明直观，因而受到人们的重视。图示法建模的实例在前述内容中已经出现，七桥问题便是一例。本讲再举两例以说明。
<b>　　一、核军备竞赛问题</b>
　　问题分析
　　核军备竞赛是近些年来核大国之间时有发生的事情。核军备竞赛中的双方都是以保卫自身安全以防备对方的“核讹诈”为幌子而大搞军备竞赛，也就是说在遇到对方第一次核攻击后要保证有足够的核武器能保存下来，以便给对方以致命的还击。问题是，在这场军备竞赛中，双方拥有的核武器是无休止地增加下去，还是存在一个平衡状态。 </P>

yunjiang

　　<b>模型假设</b>
　　1．从各方角度看，仅当自已拥有的核武器数总是超过对方时，才被认为是安全的。故一方核武器数量与另一方数量间应存在某个确定的函数关系。
　　2．为叙述方便，设双方核武器数量都是连续变量。
　　3．一方的核武器基础数是指，当对方的核武器全部用完时，自已尚存的
足以给对方致命打击的武器数量。
　　　　　　　<img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_09/htm/sxjm9.files/image020.jpg">
　　　　　　　　　　　　　图2—4（1）
　　如果双方的安全线有交点，则称交点<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_09/htm/sxjm9.files/image022.gif"> </SUB>为<B>平衡点</B>，其中的<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_09/htm/sxjm9.files/image024.gif"> </SUB>是双方都认定安全条件下分别应拥有的核武器最小数目。两个安全区的公共区域自然是双方安全区，称为核军备竞赛的稳定区域。如果这种平衡点和稳定区域存在，则军备竞赛中双方拥有的核武器便不会无休止增加下去。于是问题变成了证明稳定区域的存在性，下面我们将根据图示法结果证明：稳定区域确实存在。
　　按照某些战略专家的观点，在任一方的第一次全力打击后，只要不能毁灭对方全部核武器，这种稳定区域就应该是存在的，常识也告诉我们，这是对的。但这是需要给予严格证明的。这也恰是我们建立这个模型的最终目的。

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<>　　<B>模型求解（模型结论证明）
　　</B>求证：任一方的第一次全力打击不能毁灭对方全部核武器，则稳定区域必存在。
　　为证稳定区域存在，只需证明在上述条件下，两条安全线必相交。为此，首先说明曲线<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_09/htm/sxjm9.files/image026.gif"> </SUB>从点<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_09/htm/sxjm9.files/image028.gif"> </SUB>开始，其斜率无限增加。
　　　　　　　　　 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_09/htm/sxjm9.files/image030.gif">
　　　　　　　　　　　　　　图2—4（2）
　　由于双方核武器数目<I>x</I>和<I>y</I>必有某个倍数关系，不妨设<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_09/htm/sxjm9.files/image032.gif"> </SUB>，<I>r</I>&gt;0表示乙方核武器较甲方核武器的优势倍数。注意到甲方在遭到乙方全力打击后仍有剩余核武器的条件，知甲方剩余武器数与<I>r</I>有关。设甲方核武器保留下来的概率为<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_09/htm/sxjm9.files/image034.gif"> </SUB>，则<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_09/htm/sxjm9.files/image035.gif"> </SUB>&gt;0且甲方应保存下来的武器数为x<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_09/htm/sxjm9.files/image036.gif"> </SUB>。又依假设(3)，只要x<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_09/htm/sxjm9.files/image038.gif"> </SUB>，甲方就可确保安全，由此推得<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_09/htm/sxjm9.files/image040.gif"> </SUB>。若记<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_09/htm/sxjm9.files/image042.gif"> </SUB>，则在乙方拥有核武器的数目<I>r</I>倍于甲方的条件下，<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_09/htm/sxjm9.files/image044.gif"> </SUB>便是使甲方感到安全的武器拥有量的最小值。由甲安全线的意义，<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_09/htm/sxjm9.files/image045.gif"> </SUB>即<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_09/htm/sxjm9.files/image047.gif"> </SUB>，且为<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_09/htm/sxjm9.files/image048.gif"> </SUB>与直线<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_09/htm/sxjm9.files/image050.gif"> </SUB>交点的横坐标(图2—4(2))。由于对任意的<I>r</I>&gt;0，曲线<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_09/htm/sxjm9.files/image052.gif"> </SUB>与<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_09/htm/sxjm9.files/image053.gif"> </SUB>总相交，故知<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_09/htm/sxjm9.files/image054.gif"> </SUB>的斜率无限增加。
　　同理可证明乙方安全线<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_09/htm/sxjm9.files/image055.gif"> </SUB>也有同样的性质：斜率无限增加，因而这两条安全线必有交点，也即平衡点从而稳定区域必存在。
</P>

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<TABLE height=361 cellSpacing=0 cellPadding=0 width=476 align=center border=0><TR vAlign=top align=left><TD colSpan=2 height=343><><B>　　</B><b>模型分析、推广与评价</b>
　　1．这个数学模型是基于图示方法建立起来的，并充分利用图示法对实际问题给予了尽管是粗浅的、定性的回答，但这在许多场合已经够用了。
　　2．模型最后的证明思路很巧妙和别致：为了证明两安全线相交，转化为对任意的<I>r</I>，<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_09/htm/sxjm9.files/image057.gif"> </SUB>与两条曲线都相交，从而转化成证明两条安全线的斜率都是无限增加从而必相交，其思想方法值得我们借鉴。
　　3．在本模型原设条件与结论之下，假如甲方为防御袭击而加强防卫功能情况会如何?此时，<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_09/htm/sxjm9.files/image059.gif"> </SUB>必加大，而<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_09/htm/sxjm9.files/image061.gif"> </SUB>不变，于是<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_09/htm/sxjm9.files/image063.gif"> </SUB>必减小，从而导至甲安全线向左移动，增大了自己的安全区。
　　又若甲方不仅仅是消极防御，又采取发展反弹道导弹等措施，那么乙方给甲方以毁灭性打击的最小核武器数<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_09/htm/sxjm9.files/image065.gif"> </SUB>必将上移，从而导至乙安全线向上移动，这时的平衡点将从原平衡点向左上方移动到新平衡点。这意味着核军备竞赛又重新开始了新一轮较量。</P></TD></TR></TABLE>

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<b>　</b> <b>二、 实物交换问题</b>
　　 实物交换是人类发展史上一种重要的交换方式，在当今的社会生活中也是屡见不鲜的，这种实物交换问题可以出现在个人之间或国家之间的各种类型的贸易市场上。例如：甲乙二人共进午餐，甲带了很多面包，乙有香肠若干，二人希望相互交换一部分，达到双方满意的结果。显然，交换的结果取决于双方对两种物品的偏爱程度和需要程度，而对于偏爱程度很难给出确切的定量关系。我们将采用图示的方法建立实物交换的数学模型，确定实物交换的最佳交换方案。
　　设交换的物品为<I>X</I>和<I>Y</I>，交换前甲占有<I>X</I>的数量为<I>x</I><SUB>0</SUB>，乙占有物品<I>Y</I>的数量为<I>y</I><SUB>0</SUB>，交换后甲占有物品<I>X</I>和<I>Y</I>的数量分别为<I>x</I>和<I>y</I>。于是，乙占有<I>X</I>，<I>Y</I>的数量为<I>x</I><SUB>0</SUB>-<I>x</I>和<I>y</I><SUB>0</SUB>-<I>y</I>。以<I>x</I>，<I>y</I>分别作为横、纵坐标建立平面直角坐标系，在<I>xOy</I>平面直角坐标系内，长方形<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_09/htm/sxjm9.files/image067.gif"> </SUB>内任意一点的坐标（<I>x，</I><I>y</I>）均代表一种可能的交换方案。为了定量地描述甲、乙二人对物品<I>X</I>，<I>Y</I>的偏爱程度，首先我们引入无差别曲线。
　　　　　　　　　　　<img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_09/htm/sxjm9.files/1.gif">
　　　　　　　　　　　　　　　 图2—5
　　如果甲占有<I>x</I><SUB>1</SUB>量的<I>X</I>和<I>y</I><SUB>1</SUB>数量的<I>Y</I>（图2—5中的<I>p</I><SUB>1</SUB>点）与占有<I>x</I><SUB>2</SUB>数量的<I>X</I>和<I>y</I><SUB>2</SUB>数量的<I>Y</I>（图2—5中的<I>p</I><SUB>2</SUB>点）满意程度相同，则称<I>p</I><SUB>1</SUB>和<I>p</I><SUB>2</SUB>对甲是无差别的，或者说<I>p</I><SUB>2</SUB>与<I>p</I><SUB>1</SUB>相比，甲愿意以<I>Y</I>的减少（<I>y</I><SUB>1</SUB>-<I>y</I><SUB>2</SUB>）来换取<I>X</I>的增加（<I>x</I><SUB>2</SUB>-<I>x</I><SUB>1</SUB>），所有与<I>p</I><SUB>1</SUB><I>，p</I><SUB>2</SUB>具有同样满意程度的点组成一条甲的<B>无差别曲线</B><I>MN</I>，而比这些点满意程度更高的点，如<I>p</I><SUB>3</SUB>(<I>x</I><SUB>3</SUB>,<I>y</I><SUB>3</SUB>)，则位于另一条无差别曲线<I>M</I><SUB>1</SUB><I>N</I><SUB>1</SUB>上。这样，甲就有无数条（一族）无差别曲线，不妨设为
　　　　　　　　　　　　　 <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_09/htm/sxjm9.files/image069.gif"> </SUB>
其中 <I>c</I><SUB>1</SUB>称为满意度。随着<I>c</I><SUB>1</SUB>的增加，曲线向右上方移动。一般说来，无差别曲线具有如下性质：

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　 （1）单调减少（因为满意度相同，<I>x</I>增加时，<I>y</I>减少）；（2）互不相交（否则交点处具有不同的满意程度）；（3）下凸的（当占有较少的<I>X</I>物品时，宁愿以较多的<I>Y</I>物品交换较少的<I>X</I>物品）。
　　类似地，可以得到乙对物品<I>X</I>和<I>Y</I>的一族无差别曲线，设为
　　　　　　　　　　　　 <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_09/htm/sxjm9.files/image073.gif"> </SUB>。
　　不管无差别曲线<I>f，</I><I>g</I>是否有明确的解析表达式，每个人都可以根据对两种物品的偏爱程度用曲线表示它们，这就为用图解法确定交换方案提供了依据。
　　　　　　　　<img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_09/htm/sxjm9.files/3.gif">
　　　　　　　　　　　　　　　　图2—6
　　 为了确定实物交换的最佳方案，将双方的无差别曲线画在一起（图2—6），其中虚曲线表示甲的无差别曲线族<I>f</I>（<I>x</I>,<I>y</I>）=<I>c</I><SUB>1</SUB>，而乙的无差别曲线族<I>g</I>(<I>x</I>,<I>y</I>)=<I>c</I><SUB>2</SUB>原点在<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_09/htm/sxjm9.files/image077.gif"> </SUB>轴均反向。于是，当甲的满意程度增加时，无差别曲线向右上方移动，当乙的满意度增加时，无差别曲线向左下方移动，这两族曲线的切点连成一条曲线<I>AB</I>（图2—6），称之为<B>交换路径</B>。  

yunjiang

　　 容易证明结论：双方满意的交换方案应在曲线<I>AB</I>上。<I>
　　</I>我们使用反证法证明之。 假设交换方案在曲线<I>AB</I>外的某一点<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_09/htm/sxjm9.files/image079.gif"> </SUB>进行。设通过<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_09/htm/sxjm9.files/image080.gif"> </SUB>的甲的无差别曲线与<I>AB</I>的交点为<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_09/htm/sxjm9.files/image082.gif"> </SUB>，则甲对<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_09/htm/sxjm9.files/image083.gif"> </SUB>和<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_09/htm/sxjm9.files/image084.gif"> </SUB>的满意程度相同，而乙对<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_09/htm/sxjm9.files/image085.gif"> </SUB>的满意度高于<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_09/htm/sxjm9.files/image086.gif"> </SUB>，所以双方均满意的交换不可能在<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_09/htm/sxjm9.files/image087.gif"> </SUB>进行<I>。
　　</I>经过对甲、乙双方的无差别曲线的分析，交换方案的范围从整个长方形缩小为一条曲线。显然，越靠近<I>B</I>端，甲的满意度越高而乙的满意度越低，靠近<I>A</I>端则相反。因此，要想确定双方都认可的交换方案，需要甲乙双方进行协商或依据双方均认可的某种准则来确定。<I>
　　</I>下面依据等价交换准则确定最佳交换方案。等价交换准则是指两种物品用同一种货币衡量其价值，进行等价交换。<I>
　　</I>不失一般性，设交换前甲占有数量为<I>x</I><SUB>0</SUB>的物品<I>X</I>，乙占有数量为<I>y</I><SUB>0</SUB>的物品<I>Y</I>；交换后甲所占有的物品<I>X</I>，<I>Y</I>的数量分别记为<I>x</I>,<I>y</I>；单位数量的物品<I>X</I>，<I>Y</I>的价值（价格）设为<I>p</I><SUB>1</SUB>,<I>p</I><SUB>2</SUB>。由等价交换准则，<I>x</I>,<I>y</I>满足直线方程
<SUB>　　　　　　　<img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_09/htm/sxjm9.files/image091.gif">
</SUB>　　容易证明，在此直线上的点进行交换均满足等价交换准则。在等价交换准则下双方均满意的交换方案必是此直线与前述路径曲线<I>AB</I>的交点（如图2—7）。<I>
　　　　　　　　　<img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_09/htm/sxjm9.files/2.gif">
</I>　　　　　　　　　　　　　　　　　图2—7 <I>
</I>　　无差别曲线概念的提出是用图形方法建立实物交换模型的基础，确定这种曲线需要收集大量的数据，还可以研究无差别曲线的解析表达式及其性质。

duanshumo

谢谢你的帖子

coeeoc

THKs

aaron34

谢谢啊,祝楼主天天开心