现有集合论中的一个矛盾

needdream · 发表于 2004-4-10 06:37:35

现有集合论中的一个矛盾
这个矛盾不仅仅存在于ZF或ZFC公理体系中，也存在与Cantor的朴素公理体系中
描述如下：
如何证明“空集=空集”

按现有的各种公理体系，无论哪一种，就必然有于ZF体系中的第一公理“外延公理”类似的公理
即用于定义集合相等的判断条件。
—— 集合A与集合B相等的条件是：A=B <——> A中所有的元素都存在于B中，而B中的所有元素也都存在于A中

但是这种判断条件都是建立在集合中至少有一个元素的条件下的公理。
对于空集而言，它本身没有元素，对于这种情况，公理却没有作出解释

因为元素的定义中似乎没有把“无元素”当做一种元素，因此按照公理也就无法证明“空集=空集”

也许大家会感觉“空集=空集”这样的命题，看上去很痛苦
可以换一种等价的描述：

根据两个条件
1）集合X=Y
2）集合Y是空集
是否能推导出X=空集？

我的答案是否，
问题的关键是“=”本身有两种基本含义
第一是公理中定义的集合比较功能
第二却是一直被忽略，而默认为与第一条含义等价的含义 —— 就是“赋值功能”
——即我们可以把“A是1”表达成“A=1”

为何我在描述条件2）的时候没有使用“Y=空集”这样的描述方式呢？
原因就在于“=”本身的两重含义

对于一般集合而言，“=”的第一含义与第二含义可以等价
因为只要能满足ZF(1)公理的集合相等于赋值含义没有逻辑上的冲突

但是对于空集而言就不行了，所以我在描述第二个条件的时候没有用“=”

现在我们看上述的两个条件：
条件一：集合X=Y，是建立在公理基础上的集合相等
但是如果它与条件二一起推导出结果“X=空集”的话，就必须证明这一结果是满足公理的
因为结果中“=”不是赋值含义，而是集合相等的判断

所以我认为是根据上述两个条件是不能想当然的推导出我们想象中的结果

现在我们在仔细看看“空集=空集”这个命题的本质是什么
或许有人会说用反证法不是就能证明了吗？
可惜反证法能证明的即使能证明---命题“空集！=空集”是个假命题，
但是这个并不能想当然的就推导出“空集=空集”是真命题了
因为这个命题有其存在的公理基础，证明得在公理基础上证明
而公理只定义了集合相等的条件，但是这个条件空集并不满足

最终结果是
即不存在一个元素使得“空集！=空集”成立，也不存在元素使得“空集=空集”成立
----现有的公理体系下是无法判断“空集”与“空集”的关系

是不是很另人惊讶的结果

我想说明的是空集本身包含的含义并不是现有公理体系（如ZF或ZFC）所说的由ZF(2)能推导出空集的存在

应当存在一个公理来描述空集的基本性质

而产生这个问题的本质是大家没有真正区分“=”的基本含义

如果有兴趣可以深入讨论

needdream · 发表于 2004-4-11 08:47:02

比较的结果有三种：
相等、不相等，还有无法比较---这种情况往往被忽略，甚至从来就没想过，但是它存在

一般只在很明显的情况下，我们才感觉到“无法比较”这一情况的存在

所以即使证明了不相等是错误的，也不能想当然的推导出是相等的结果，因为”相等“是被公理定义好的

knight · 发表于 2004-4-11 17:20:12

无法比较是一种状况？
我的理解是问题本身就不可以比较，既然不可以比较你又怎么能得出不相等的结果呢？
既然能得到不相等的结果，我觉得就应该是可以比较的。

knight · 发表于 2004-4-10 16:37:24

我是曾经听说过反证法是错误的，但是一直没有看到过证明，我想你要是想提出这个问题请你先证明反证法是错误的。

needdream · 发表于 2004-4-12 04:01:59

歌德尔定理，表明了所有形式语言都存在着自身领域内不能被判定的东西

不能比较的情况很多---悖论就是一种

您能给悖论一种相等或不相等的结果吗？

knight · 发表于 2004-4-12 05:57:02

这个定理我知道
但是你怎么判断出这个问题就是这个系统里不能判定的问题呢？
你的根据是什么
你的根据本身完备吗？

needdream · 发表于 2004-4-12 22:43:19

现在我只是提出这个命题

并不是从那个歌德尔定理出发的

可以说现在根本就不用考虑这个定理

只是纯粹的从公理定义的“=”出发

如果结果是正确的话

那公理（1）的表达方式就是不完备的

yqchen · 发表于 2004-12-25 20:23:54

不能用逆否命题证明吗?

standing · 发表于 2004-12-25 21:30:13

<

>不懂</P>

izzy · 发表于 2005-1-13 01:53:00

<

>"即不存在一个元素使得“空集！=空集”成立，也不存在元素使得“空集=空集”成立
----现有的公理体系下是无法判断“空集”与“空集”的关系"</P><

> 既然空集没有元素那么为什么要去找这么一个元素呢？？</P><

>"因为这个命题有其存在的公理基础，证明得在公理基础上证明
而公理只定义了集合相等的条件，但是这个条件空集并不满足"
这句话不明白
</P>

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