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发表于 2004-2-27 18:41:26
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3.2序组
一个序列（或有序组）是一个表，要计及次序。
序组，我们使用最多的地方就是定义数组，数组的使用有很多方面，在计算机的硬件方面，比如内存地址，硬件中断等。
在计及次序的概念上，有个最为重要的概念就是事件（event），事件的产生是由约束条件的触发，当条件满足时，事件就会产生。
事件的产生将驱动消息机制的应用程序动作，从而使得"当条件满足时，计算机按照指定的指令进行执行"。
看一下数学概念上的序列（在概念上都是一致的）。
如：
{0 .1, 2.0, 3.0,4.0, … }
就是一个序列，注意此处的次序（依次增大）是最重要的。
如果s是一个序列，我们常把其第一项表示为s1（如上序列的值0.1），第二项表示为s2（如上序列的值2.0），等等。一般地，sn表示序列的第n项。我们把n称为序列的下标。
序列最重要的两个形式是增序列或减序列。
所谓的增序列或减序列只是相对于序列中元素的大小而言的，若元素是不可比的，又如何表示？该问题并不存在，序列讲究的是次序，即所有的元素都是可比的（对于有些元素我们仅仅关注它的标识，观察它的标识是否具有次序性）。
如果对于所有的n，有 Sn≤Sn+1 序列s 就是增序列，如果Sn≥Sn+1则称为减序列。
从已知的序列形成一个新的序列的一个方法是，只取原序列中的某些些项，而保留各项的次序不变。所得次序称为一个子序列。
以上大家关心的是序列的定义，并非所有的序列都如上描述的那样，好似没有边界，序列和集合一样，具有有限的序列。
所谓的串就是一个有限的序列。
那么，在序列X上的一个串是由X中的元素组成的一个串。
在此处不再累述，序列的有限性和无限性的意义，其等同集合。
3.3关系
关系可以想成一个表，其中列出一些元素和其他元素之间的关系，见下表
如上的关系可被一个序偶集合描述
序偶集合：（公园，人）=> 关系：公园是人的休憩场所
从场所被人使用的角度，元素与人的关系是一个描述元素与人关系的元素。
一个从集合X到集合Y的（二元的）关系R，是笛卡尔积X×Y的一个子集，如果（x,y）∈R，我们写为xRy且说x和y有关。
渐入复杂的描述。
我们更改上述的表来说明问题。
记录笛卡尔积X×Y ={（公园，树），（公园，车），（公园，人），（马路，树），…（小区，人）}
关系R={（公园，树），（马路，车），（小区，人）}
注：关于各元素间的关系，在UML类元的"关系"将有详细说明。
集合 {x∈X| 对于有些y∈Y，（x,y）∈R}称为R的定义域。
定义域其简单表示是自变量的变化范围。
表示在对象上的结果，对于序偶（公园，树），树和公园都一个对象，这两个对象间的关系为公园是树的生长场所，假如公园是自变量，符合关系"树在公园的数量"，随公园不同，树的数量也不同。那么这个关系的定义域就是这个公园。
集合 {y∈Y| 对于有些x∈X，（x,y）∈R}称为R的值域。
值域就是应变量的变化范围，上述例子的树的数量就是值域。
如果一个关系由一个表给出，则定义域表的第一列的元素组成，而值域由表的第二列元素组成。
如果集合或序列（有序的集合）的表述是完整的，就是说我们在描述一个对象时，对该对象的一些特征描述是完整的，不遗漏，在对该对象的建模时将会合理考虑接口、扩展机制和相关的约束条件。
可以把某些集合上的关系画成一个有向图，也称为关系图（图的定义我们将在图论中描述）。要画出一个集合X上的关系的关系图，首先，有顶点（或结点），表示元素。箭头表示关系。（关于图上如何描述该关系，也将在图论中具体定义）
集合X上的关系R，如果对于每个x∈X都有（x,x）∈R，则称为R是自反的。
集合X上的关系R，如果对于每个x,y∈X，如(x,y) ∈R必有（y,x）∈R，则称为R是对称的。
集合X上的关系R，如果对于每个x,y∈X，如(x,y) ∈R且x≠y必有（y,x）￠R，则称为R是反对称的。
集合X上的关系R，如果对于每个x,y,z∈X，如(x,y) ∈R且（y,z）∈R，必有（x,z）∈R，则称为R是传递的。
如此定义的关系，是较为复杂的，首先是该关系R的两组元素是相同的，或是描述一组内部元素的关系，首先集合上的元素可以表示自变量也可以表示应变量。在第三章描述的UML中定义的关系，并没有关注对象（或类元）间的如此复杂的关系。但关系是什么样的性质，将关联到各个对象被触发的机制。
对象的事件机制将使用关系的特性，比如传递性、反对称性等，虽然该特性是认为在事件机制上设定的，但这些特性将有助我们设计模型。
关系可用于把一个集合的元素排序（当然不仅是排序）。
例如，整数集合上的关系：
(x,y) ∈R且x≤y
把整数从小到大排序。注意如此的关系是自反的，反对称的和传递的。我们称这种关系为一个偏序。
即集合X上的关系R，如果是自反的反对称的和传递的，则R称为一个偏序。
设R是集合X上的一个偏序。如果x,y∈X且x≤y或y≤x成立，我们说x和y是可比的，如果x,y∈X且x≮y或y≮x，就是说x和y不可比。如果X中的元素都可比，那么我们称R为全序。
这个概念较难理解，我们考察对象时，一般记如上的关系，来比较说明偏序和全序。
一个数学例子，关系R为"大于等于"。
设集合X={2，3，4}
则 关系R={（2，2），（2,3）,(3,3),(3,4),(4,4),(2,4)}
考察自反性：（2，2），(3,3), (4,4) ∈ R
反对称性：（2,3）∈ R 而 (3,2) ￠R
考虑传递性：（2,3）(3,4) ∈ R 而 (2,4) ∈ R
考察X其元素，X内的所有元素是可比的。故关系R是全序。
在计算机的数字系统存在的序列，若关系存在一般皆为可比。
在但面向对象的设计上，其描述对象的集合一般不可比的。故偏序描述的是对象间关系，一般为事件关系。
如一个事件例子
设集合X={开始状态，运行状态，损坏状态}
关系为触发R={（始，始），（始, 运）,（运, 运），（运, 坏),（坏, 坏），（始, 坏）}
考察自反性：（始，始），（ 运, 运），（坏, 坏）∈ R
反对称性：（始, 运）∈ R 而 （运，始）￠R
考虑传递性：（始, 运），( 运, 坏) ∈ R 而 ( 始, 坏) ∈ R
考察X其元素，X内的所有元素是不可比的。故关系R是偏序。
全序是偏序是次序的序列表示。如何说法，偏序则是常常表示对象的集合，而偏序表示的对象含有的性质，如时间次序，体积大小的就具有可比性，我们在描述对象时，该性质（比较出的结果才是我们需要的）。
在对集合的学习中，如此掌握集合即可，在描述（面向的）对象的关系，或（面向的）过程的关系，集合原理是基础性，我们考察集合原理结果是把对象（们）拿到集合论里来描述、分析，如此就简单多了。
继续考察集合内元素的关系。
X上的一个自反的，对称的和传递的关系称为X上一个等价关系。
若给出一个集合X上的等价关系R，我们可以由把X中的元素按相关来分组，以进行划分。互相相关的元素可以认为是等价的。
得出如下理论：
令R是集合X上的一个等价关系。对于每个a∈X，令
[a]={ x∈X|xRa }
则
S={ [a]|a∈X } 是X的一个划分。
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发表于 2004-2-27 18:31:20
