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[转贴]征求最简解法

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发表于 2004-3-2 06:41:17 | 显示全部楼层 |阅读模式
征求最简解法
   
    搞好中学数学素质教育,进行一题多解与最简解法的研究和教学,也是有效途径之一

因为它们能激发学生强烈的学习兴趣,所以高考题、竞赛题常含两个因素。      

请看1979年高考题  已知:△ABC,∠A=90°,AD⊥BC,DE⊥AB,DF⊥AC。求证:(AB·AB
·AB) / (AC·AC·AC)=BE/CF。
此题为射影定理系列之一,有一百多个不同解法。证明:由条件及结论联想射影定理→AB
·AB=BC·BD①,AC·AC=BC·CD②,
BD·BD=AB·BE③,CD·CD=AC·CF④。照结论写①2 / ②2→(AB·AB·AB·AB) / (AC·A
C·AC·AC)=(BD·BD) / (CD·CD)以①②代入=AB·BE /AC·CF※→约去AB / AC→(AB·A
B·AB) / (AC·AC·AC)=BE/CF, 只列一式※。
      
再看2001年高考题   已知:抛物线Y·Y=2PX(P>O),过焦点F 的直线交抛线于A、B,

BC∥X轴交准线于C。   求证:A、O、C共线。
(解一)照BC作AE∥X轴交准线于E,由抛物线概念→AE=AF①,BC=BF②。由平行线截直线
概念→
设X轴交AC于O′,交准线于D→O′D/AE= O′C/AC=BF/AB=由②BC/AB= O′F/AF= O′F/由①
AE→
DO′=FO′,→O、O′共点,∴A、O、C共线。只列一式※。

(解二)由点在抛物线上,点坐标满足方程的概念→XA=YA·YA/2P①,XB=YB·YB/2P②
。由三点共线,有两段直线斜率相等的概念→如A、O、C共线→YA/XA③=YC/-(P/2)=YB/-(
P/2),①代入③→YA·YB=-P·P④。照样,由A、F、B共线→                          
             YA/(XA-P/2)= YB/(XB-P/2)※,①②代入,化简,约去YA-YB→④。∴A、
O、C共线。只列一式※。
   (据了解,目前所有书刊尚无如此最简解法,何故?)   
附注:由已知条件和结论推出的关系式不算中心证式※。按照举例要求和附注,提出三题
征求最简解法。

     第一题:1990年北京市中学竞赛题   已知:△ABC,∠C=90°,∠A=3∠B.,D在BC上,
∠CAD=∠B。
求证:BD=2AC。新要求:不用三角函数,只添一线,只列一式(中心证式※),作出最简解
法六个。
     第二题:1992年全国初中联赛题   已知:△ABC,AB=AC,D在BC上,E在AD上,∠BED=∠
A=2∠CED。
求证:BD=2CD。新要求:(1)不添线,可用三角函数,只列一式(中心证式※),作出最
简解法二个。                                                                  
                                                                        
                       (2)可添线,不用三角函数,只列一式(中心证式※),作出
最简解法二个。
     第三题   费马小定理(又名分割定理)  已知:矩形ABCD,AB= √2AD,以AB为直径
向外作半园上一点P,连PC、PD交AB于E、F。                                  求证:
AE·AE+BF·BF=AB·AB
    国内梁绍鸿著的《初等数学复习及研究(平面几何)》中有此题,国内已作出题解,
有人说:解法太繁,不忍卒读,故作出简解如下:作PH⊥EF于H→PH·PH=AH·BH及△ADF∽
△PHF、△BCE∽△PHE㈠ 。设PH=h→h·h=AH·BH㈡,AF=x,BE=y, AD=BC=1→AB=√2 。由㈠
→x / 1=FH / h ,y / 1=EH / h㈢。(以上为由已知条件推出的关系式)
由㈢→FH=hx、EH=hy①→AH=x(1+h)、BH=y(1+h)②→AB=(1+h)(x+y)=√2 ③→1+h=√2 /(
x+y)④→h=[√2-(x+y) ]/(x+y)⑤→②代入㈡→h·h=xy(1+h)(1+h)⑥→④⑤代入⑥→[√
2-(x+y) ] [√2-(x+y) ]=2xy→2-2√2(x+y)+x·x+y·y(⑦。
由AE·AE+BF·BF=(√2 -y) (√2 -y)+(√2-x) (√2-x)=2+2-2√2 (x+y)+x·x+y·y(⑦代
入)=2=AB·AB。证明过程共用了8式。
    新要求:只列一式(中心证式※),作出最简解法二个。  
0757-3210285
0739-5344277                                     中国老人     张光禄
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