優雅美麗的球體

math618

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<DIV class=title><FONT face=標楷體><FONT size=6>優雅美麗的球體</FONT></FONT></DIV>
<><FONT face=標楷體 size=5>曹亮吉</FONT> </P></TD>
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<TR>
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<P><!-- episte: basic_info
%\title{優雅美麗的球體}
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%\author{曹亮吉}
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%\source{科學月刊七十二年七月號}
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%\key_out{祖沖之::阿基米德::祖氏原理::槓桿原理::牟合方誓
-- episte: basic_info end -->
<P>有一天當你在適當距離的太空中，望著月球或地球時，你一定會認為球體是空間中最優雅美麗的立體。「適當的距離」很重要：太遠了。就像妳在地上舉頭望明月。不太像是個球體。只有圓盤的感覺；太近了，就像只緣生在地球上的人。沒法直接看清地球的形狀。
<P>
<P>從船艦入港，先見其桅，麥哲倫之壯舉，都可推知：地面是彎曲的，可繞回原地的。但從純幾何的觀點來看。月蝕時，地球的陰影總是圓形的這件事，更可肯定地是球形的，因為各個方向的投影都是圓形的幾何體一定是球體；古時候很多天文學者就是因此相信地是球說。
<P>
<P>和球體有關的數學，一方面來自天文、地理，如球面三角學。球面幾何學。地圖及著色問題等；另一方面從純數學的觀點，探討球體的性質，如球體的體積、表面積、（內接）正多面體等。科學月刊已陸續登過許多這些方面的題材 <a href="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_14_07_1/notes.html#foot39" target="_blank" ><SUP>註1</SUP></A> 。以下我們要專談較少提及的球體體積及球面面積。
<P>
<P>求球體體積最主要的人物，在中國為南北朝的祖沖之 <a href="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_14_07_1/notes.html#foot40" target="_blank" ><SUP>註2</SUP></A> ，在西方則數阿基米德。前者善用祖氏原理，後者則長於槓桿原理。把這個看來無從下手的問題給解決了。
<P>
<P><!-- %#begin L
%\includegraphics{sm_14_07_1_01.gif}
%\caption{圖一}
%#end -->

<TABLE cellSpacing=0 cellPadding=0 width=500 align=center border=0>

<TR>
<TD align=middle><IMG src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_14_07_1/sm_14_07_1_01.gif" border=0>
<HR noShade SIZE=1>
<FONT size=2>圖一 </FONT></TD></TR></TABLE>

<P>要了解祖氏原理，先看一個例子：如圖一，設有兩個等高約三角形，其底邊長各為 <I>a</I> 與 <I>b</I>。因平行於底邊，且高度相同的兩截線 <I>CD</I>,<I>EF</I> 之比總是 <I>a</I>:<I>b</I>，所以兩三角形的面積比應該也是 <I>a</I>:<I>b</I>。把這種看法推面廣之，就得到一般的祖氏原理如下：
<P>
<P>兩平面區域（或兩空間物體）。若有相同的高度，而平行於底邊（或面）。且高度相同的兩截線（或面）的長度（或面積）比如果為值，則兩區域（或物體）的面積（或體積）比就是該定值。
<P>
<P>其實，從積分公式來看，祖氏原理也不過說：如果 <I>f</I>(<I>x</I>):<I>g</I>(<I>x</I>)=<I>a</I>:<I>b</I>，則 <IMG src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_14_07_1/img1.gif" align=middle border=0>。這個原理雖然簡單，但運用巧妙，往往有驚人的表現；我們且看祖沖之的招式。
<P><!-- %#begin L
%\includegraphics{sm_14_07_1_02.gif}
%\caption{圖二}
%#end -->

<TABLE cellSpacing=0 cellPadding=0 width=500 align=center border=0>

<TR>
<TD align=middle><IMG src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_14_07_1/sm_14_07_1_02.gif" border=0>
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<FONT size=2>圖二 </FONT></TD></TR></TABLE>

<P><!-- %#begin L
%\includegraphics{sm_14_07_1_03.gif}
%\caption{圖三}
%#end -->

<TABLE cellSpacing=0 cellPadding=0 width=500 align=center border=0>

<TR>
<TD align=middle><FONT size=2><IMG src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_14_07_1/sm_14_07_1_03.gif" border=0></FONT>
<HR noShade SIZE=1>
<FONT size=2>圖三 </FONT></TD></TR></TABLE>

<P>把球體看成由一層層的圓盤所疊成。把每個圓盤用一個外切正方框起來。則這些正方形所疊成的立體稱為牟合方蓋（圖二為牟合方蓋的上半部，而整個造形就是兩種像是餐桌上擋蒼蠅用的桌罩反向疊合而成的，故名）。圓盤與外切正方形約面積比為 <IMG src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_14_07_1/img2.gif" align=bottom border=0>，所以根據祖氏原理，球體與牟合方蓋的體積比也是 <IMG src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_14_07_1/img2.gif" align=bottom border=0>。其次，將一長等於球體面徑 2<I>r</I> 的正立方體套在牟合方蓋的外面。稱立方體減去牟合方蓋所剩的立體為甲。以立方體上下兩底為底。以球心為頂點，所成的兩方錐合稱為乙。現在又要比較等高處甲、乙兩立體的截面積。設球心到截面的高度為 <I>h</I>，則球截面圓盤的半徑為 <IMG src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_14_07_1/img3.gif" align=middle border=0>。因此牟合方蓋截一面的邊長為 <IMG src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_14_07_1/img4.gif" align=middle border=0>，所以甲截面（圖三中斜線部分）的面積為



<DIV class=mathdisplay align=center><IMG src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_14_07_1/img5.gif" border=0> </DIV><BR clear=all>
<p>它正好等於乙截面的面積。那麼甲的體積正好要等於乙的體積 <IMG src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_14_07_1/img6.gif" align=middle border=0>。如此就得

<p>
<DIV class=mathdisplay align=center><IMG src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_14_07_1/img7.gif" border=0> </DIV>
<p><BR clear=all>阿基米德求積的看家本領則為槓桿原理，求得球體體積是其具體運用的極致。我們且看槓桿原理如何和球體積掛鉤。
<P>
<P><!-- %#begin L
%\includegraphics{sm_14_07_1_04.gif}
%\caption{圖四}
%#end -->

<TABLE cellSpacing=0 cellPadding=0 width=500 align=center border=0>

<TR>
<TD align=middle><IMG src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_14_07_1/sm_14_07_1_04.gif" border=0>
<HR noShade SIZE=1>
<FONT size=2>圖四 </FONT></TD></TR></TABLE>

<P>如圖四。先看左下角的圓及三角形。將它們繞圓的直徑 <I>AB</I> 一圈，就得一半徑為 <I>r</I> 的球體和高及底面半徑各為 2<I>r</I> 的圓錐體。考慮離 <I>A</I> 點 <I>h</I> 處的截面。設此處球體截面圓盤的半徑為 <I>a</I>。則截面積為 <IMG src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_14_07_1/img8.gif" align=middle border=0>，而圓錐體截面的半徑為 <I>h</I>；所以其面積為 <IMG src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_14_07_1/img9.gif" align=bottom border=0>。兩者相加再乘以 2<I>r</I>，則得

<p>
<DIV class=mathdisplay align=center><IMG src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_14_07_1/img10.gif" border=0> </DIV><BR clear=all>
<p>等式的左邊可看成將兩截面掛在槓桿左端 <I>C</I> 點所得的力矩，而等式的右邊則是一半徑為 2<I>r</I> 的圓盤掛在離平衡點 <I>O</I>,<I>h</I> 處的 <I>F</I> 點所得的力矩。左右兩式相等表示槓桿呈平衡狀態。現在變動截面，將球體及圓錐體的所有截面全掛在 <I>C</I> 點，那麼 <I>C</I> 點掛的是一個球體和一個圓錐體。為維持平衡，槓桿右邊的每一點都要掛上一個半徑為 2<I>r</I> 的圓盤；這些圓盤組成了一個高及半徑各為 2<I>r</I> 的圓柱體（將圖四右下角的長方形繞中線 <I>A</I>'<I>B</I>' 一圈所得的就是）。由於對稱的關係。這個圓柱體可看成是掛在 <I>OD</I> 的中點 <I>E</I> 的。亦即在 <I>E</I> 點掛上圓柱體可以和 <I>C</I> 點掛著的球體及圓錐體達成平衡。依槓桿原理。就得

<p>
<DIV class=mathdisplay align=center><IMG src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_14_07_1/img11.gif" border=0> </DIV><BR clear=all>
<p>因為圓柱體及圓錐體的體積各為 <IMG src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_14_07_1/img12.gif" align=bottom border=0> 及 <!-- MATH
$\frac{8}{3}\pi r^3$
--><IMG src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_14_07_1/img13.gif" align=middle border=0>，由上式馬上就可以導出球體的體積 <a href="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_14_07_1/notes.html#foot131" target="_blank" ><SUP>註3</SUP></A> 。
<P>至於球面的面積，至少有兩種簡單的求法。一種相當於積分，一種相當於微分。
<P><!-- %#begin L
%\includegraphics{sm_14_07_1_05.gif}
%\caption{圖五}
%#end -->

<TABLE cellSpacing=0 cellPadding=0 width=500 align=center border=0>

<TR>
<TD align=middle><IMG src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_14_07_1/sm_14_07_1_05.gif" border=0>
<HR noShade SIZE=1>
<FONT size=2>圖五 </FONT></TD></TR></TABLE>

<P>先說微分的方法，如圖五。如果將球體的半徑 <I>r</I> 增大成 <I>r</I>+<I>s</I>，以之做新球，則新舊兩球間體積之差為

<p>
<DIV class=mathdisplay align=center><IMG src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_14_07_1/img14.gif" border=0> </DIV><BR clear=all>
<p>因兩者之間的「厚度」為 <I>s</I>，所以上式除以 <I>s</I> 所得的量

<p>
<DIV class=mathdisplay align=center><IMG src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_14_07_1/img15.gif" border=0> </DIV><BR clear=all>
<p>其大小要介於新舊兩球表面積之間；且因 <I>s</I> 愈小，新舊兩球表面積之差愈要趨近於 0。所以讓上式中的 <I>s</I> 趨近於 0，所得的極限值 <IMG src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_14_07_1/img16.gif" align=bottom border=0> 就是球體的表面積。
<P><!-- %#begin L
%\includegraphics{sm_14_07_1_06.gif}
%\caption{圖六}
%#end -->

<TABLE cellSpacing=0 cellPadding=0 width=500 align=center border=0>

<TR>
<TD align=middle><IMG src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_14_07_1/sm_14_07_1_06.gif" border=0>
<HR noShade SIZE=1>
<FONT size=2>圖六 </FONT></TD></TR></TABLE>

<P>積分的方法是這樣的。如圖六，<I>AB</I>、<I>CD</I> 都平行於 <I>X</I> 軸，而交 <I>Y</I>。將圓繞 <I>Y</I> 軸一圈就得球面，而 <IMG src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_14_07_1/img17.gif" align=bottom border=0> 則繞成一個環帶。這個環帶的面積和長為 <IMG src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_14_07_1/img18.gif" align=bottom border=0>，寬為 <IMG src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_14_07_1/img17.gif" align=bottom border=0> 的長方形很近似；<IMG src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_14_07_1/img19.gif" align=bottom border=0> 愈小愈近似看成直線 <I>BD</I>。所以這條環帶的面積幾乎等於 <IMG src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_14_07_1/img20.gif" align=bottom border=0>。但是因為 <IMG src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_14_07_1/img21.gif" align=middle border=0> 與 <IMG src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_14_07_1/img22.gif" align=middle border=0> 相似（<IMG src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_14_07_1/img19.gif" align=bottom border=0> 很小時，把 <I>BD</I> 想成是過 <I>B</I> 點的切線），所以 <IMG src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_14_07_1/img23.gif" align=bottom border=0> <IMG src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_14_07_1/img24.gif" align=bottom border=0> <IMG src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_14_07_1/img25.gif" align=bottom border=0> <IMG src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_14_07_1/img26.gif" align=bottom border=0>，因此環帶的面積幾乎等於 <IMG src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_14_07_1/img27.gif" align=bottom border=0>。將 <I>Y</I> 軸分割成為小 <I>EF</I> 之和，再將各環帶的面積相加，就得球面的面積為

<p>
<DIV class=mathdisplay align=center><IMG src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_14_07_1/img28.gif" border=0> </DIV><BR clear=all>
<p>不但實際的球體優雅美麗，抽象的數學球體的性質漂亮，這些性質的證明也令人激賞。 </TD></TR></TABLE>