太阳能热水器倾角计算优化模型

boldandy · 发表于 2004-9-20 23:04:38

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align=center class=MsoNormal style="TEXT-ALIGN: center">太阳能热水器倾角计算优化模型
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align=center class=MsoNormal style="TEXT-ALIGN: center">第十五组：李惠臻吴成伟于斌 
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align=center class=MsoNormal style="TEXT-ALIGN: center">指导老师：数学建模教练组
 
摘要：本文在开头就引入了太空坐标系的概念，换了一个角度来考虑问题，在简化计算的同时也建立了一个有关于一年中的任意一天太阳相对于地球的位置与地面的任何纬度的太阳能热水器的受热板的最优倾角的综合模型，并根据模型分析了各个问题，并得出了一个较优的结果，并用Mathematica软件分别作出了杭州市和哈尔滨市的每一天的热水器的最优倾角图。总的来说，该模型的最大优点是通俗易懂，结果较为准确。
 
关键词：太空坐标系，综合模型，最优倾角图，通俗易懂
 
一．模型的重述：
太阳能热水器倾角是指热水器受热面与水平面夹角（小于90度）。设杭州市和哈尔滨市太阳能热水器倾角分别为α与β。 
1、计算一年中春分、秋分、夏至、冬至这四天中α与β的最优值。 
2、若某用户夏天热水用不完，冬天不够用，如何确定热水器倾角？ 
3、若允许一年中调节两次角度，这两个城市各选定在几月几号好？ 
4、若考虑这两个城市一年四季天气特点、早晚大气折射，以上问题中的结论又将如何？ 
5、根据上述分析，写一篇短文，供太阳能热水器厂家生产参考。
 
二．模型的假设：
1)：假设太阳光是一种绝对的平行光；
2)：忽略太阳光在大气层中的散射和衍射；
3)：问题2中，假定该用户在冬天用的热水和夏天用的热水的一样多；
4)：问题3中，假设一年四季中太阳光的强度都是一样的，均为一个定值；
 
三．符号的说明：
 1)：<v:shapetype> <v:stroke joinstyle="miter"></v:stroke><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"></v:f><v:f eqn="sum @0 1 0"></v:f><v:f eqn="sum 0 0 @1"></v:f><v:f eqn="prod @2 1 2"></v:f><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"></v:f><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"></v:f><v:f eqn="sum @0 0 1"></v:f><v:f eqn="prod @6 1 2"></v:f><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"></v:f><v:f eqn="sum @8 21600 0"></v:f><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"></v:f><v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f></v:formulas><v:path connecttype="rect" gradientshapeok="t" extrusionok="f"></v:path><lock aspectratio="t" v:ext="edit"></lock></v:shapetype><v:shape><v:imagedata></v:imagedata></v:shape>………………太阳绕地球的“公转”轨道平面与地球的赤道平面之间的较小夹角，为一定值；
 2)：<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>………………杭州市太阳能热水器倾角；
 3)：<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>………………哈尔滨市太阳能热水器倾角；
 4)：<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>………………杭州市的的水平面与地球赤道面的夹角；
 5)：<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>………………哈尔滨市的水平面与地球赤道面的夹角；
 6)：<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>………………地球上某一纬度上的点与地心的连线与赤道平面的夹角；
 7)： <v:shape><v:imagedata></v:imagedata></v:shape>………………从3月21日开始计算，过后的天数；
8）：<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>………………一年中某一天的太阳光线直射点的纬度值；
9)：A………………太阳能热水器的受热面或反光板；
10)：<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>………………地球大气层得厚度；
11）：<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>………………不考虑大气层的折射作用的时候地球上的任意一个纬度的点的太阳能热水器的最优受热角；
12）：<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>………………考虑大气层的折射作用的时候地球上的任意一个纬度的点的太阳能热水器的最优受热角；
13): <v:shape><v:imagedata></v:imagedata></v:shape>,<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>,<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>………………详见论文中的图示（均表示一个特定角的大小）；
14)：<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>………………热水器的受热面与太阳光的夹角的大小；
15)：<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>………………问题3中热水器所要调节到的角度；
16)：S………………一年中任意一天的中午太阳光直射的面积；

boldandy · 发表于 2004-9-20 23:05:37

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>四．问题的分析与模型的建立：<

> i)：问题的分析： 如题目中问题的提出，我们认为：如果热水器的受热面与太阳光线入射的方向垂直的话，那么此时热水器与水平面的夹角是此时热水器的最优受热倾角，由于太阳是从东边升起西边落下的，更是由于地球倾角的存在，使得热水器的最优受热倾角处在不断的变化中。另外由于地球是一个椭球体，其每一个纵剖面都是一个椭圆，每一个横剖面都是一个圆，这就决定了地球上的不同经度，不同纬度的点在同一时刻的热水器的最优受热倾角是不同的。 由于我们现在还不可能做到时刻调整热水器的受热倾角，所以我们只取中午太阳直射大地时刻的热水器的最优倾角作为该地该天的热水器的最优倾角，即我们忽略了不同经度对热水器的最优倾角的影响，于是影响某地的热水器的最优倾角的制约条件只剩下了2个，即只要建立一个二维的制约模型就可以得出某地某时的热水器的最优倾角的大小。 为了建立热水器最优角的二维约束模型，我们在模型的建立中引入了太空坐标系的概念，即将宇宙中的所有星体全部都看成是绕地球“公转”的。 ii) : 模型的建立：在这里，我们换了一个角度来考虑这个问题，我们引入了太空坐标系的概念，由此太空中的任何一个天体都可以想象成环绕地球的一个球体，所有星球出现在这个球体空间内。这个球体类似于地球表面的纬度和经度系统。在地球表面，经度线是由北极划到南极，而纬度线与赤道平行由东划到西。想象相似的太空球体的经线与纬线组成的栅格。这些线就是著名的赤经（R.A.）和赤纬（Dec.）。 <v:shapetype><v:stroke joinstyle="miter"></v:stroke><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"></v:f><v:f eqn="sum @0 1 0"></v:f><v:f eqn="sum 0 0 @1"></v:f><v:f eqn="prod @2 1 2"></v:f><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"></v:f><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"></v:f><v:f eqn="sum @0 0 1"></v:f><v:f eqn="prod @6 1 2"></v:f><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"></v:f><v:f eqn="sum @8 21600 0"></v:f><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"></v:f><v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f></v:formulas><v:path connecttype="rect" gradientshapeok="t" extrusionok="f"></v:path><lock aspectratio="t" v:ext="edit"></lock></v:shapetype><v:shape><v:imagedata></v:imagedata></v:shape>（图1） 如上假设，由于地球自转轴与公转轨道平面（即黄道面）的交角为66°33′，在地球绕太阳公转的一年中，太阳的直射点总是在南北回归线之间移动，于是产生了昼夜长短的变化和四季的交替；另外，据科学家长期的观察所得，地球绕太阳公转的角速度是一定的，尽管其公转的轨道是椭圆的。综上所述，我们可以构造一个太阳绕地球“公转”的模型（如图1所示），在该模型中，太阳的“公转”轨道是一个正圆，如果将太阳看成一个点，那么太阳在一年那将2次经过赤经（R.A.）平面，分别1次经过地球的北回归线和南回归线的上空，其“公转”的轨道简图如下（图2）所示： <v:shape><v:imagedata></v:imagedata></v:shape>（图2） 图中，<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>的大小为一个定值：<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>；位置1为春分时太阳相对于地球的位置，此时太阳光对地球的直射点位于赤道上；位置2为夏至时太阳相对于地球的位置，此时太阳光对地球的直射点位于北回归线上；位置3为秋分时太阳相对于地球的位置，此时太阳光对地球的直射点位于赤道上；位置4为冬至时太阳相对于地球的位置，此时太阳光对地球的直射点位于南回归线上。 由于太阳绕地球“公转”是匀速的，且其绕行轨道又是一个正圆，于是我们即可以知道地球上的太阳光的直射点的移动也是服从有如下图3的规律（3月21日到下一年的3月21日的太阳光线的直射点的纬度变化服从正弦函数分布规律）：<v:shape><v:imagedata></v:imagedata></v:shape>（图3） 在这里我们不妨设每年的3月21日为一年中的第一天，第二年的3月20日为一年的最后一天，一年规定为365天，这样我们便可以得到一年中某一天的太阳光线直射点的纬度值<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>的函数方程： <v:shape><v:imagedata></v:imagedata></v:shape>其中<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>为从3月21日开始计算，过后的天数； 通过查资料，我们知道哈尔滨市的经度为126.63 ，纬度为 45.75；杭州市的经度为 120.19 ，纬度为 30.26；由于现在我们没有计算椭圆上的某一特定线段的长度的计算公式，还有就是地球的赤道半径（6378.137km）和其两极的半径（6356.752km）的大小很是接近，所以我们虽求不到一个精确的值但也可以求得一个接近准确的值。 <v:shape><v:imagedata></v:imagedata></v:shape>（图4） 如上图所示，我们可以直观的看出椭圆的长轴和短轴的长度之比与同一角度对应的线段的长度是不同的，其长度随着其比值的减小而减小，且减小的速度随着比值的减小而越来越小。由于地球的赤道半径（6378.137km）和其两极的半径（6356.752km）的大小是很接近的，由于21.385km相对于6378.137km和6356.752km来说前者只是后者的0.335％～0.336％；这样的差距在概率论中所说的可接受的范围内，于是我们就可以近似地认为地球的纬度线圈是一个半径为6378.137km的圆，这样一来我们就可以很容易地求出地球上任意的一个经纬度上的点的水平面与地球的赤道平面的夹角<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>的大小（如图4所示）：<v:shape><v:imagedata></v:imagedata></v:shape>（图5）在这里，我们认为：地球上的某个经纬度上的点的水平面即是一个与地球在该点相切的的平面，图4即是该模型的剖图；图中<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>的大小即为该点纬度值的大小，由此我们可以很容易地计算求得杭州市和哈尔滨市的水平面与地球赤道面的夹角：<v:shape><v:imagedata></v:imagedata></v:shape><v:shape><v:imagedata></v:imagedata></v:shape>其中<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>和<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>分别为杭州市和哈尔滨市的水平面与地球赤道面的夹角。

boldandy · 发表于 2004-9-20 23:07:23

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align=center class=MsoNormal style="MARGIN-LEFT: 21pt; TEXT-ALIGN: center; TEXT-INDENT: 21pt"><v:shapetype><v:stroke joinstyle="miter"></v:stroke><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"></v:f><v:f eqn="sum @0 1 0"></v:f><v:f eqn="sum 0 0 @1"></v:f><v:f eqn="prod @2 1 2"></v:f><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"></v:f><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"></v:f><v:f eqn="sum @0 0 1"></v:f><v:f eqn="prod @6 1 2"></v:f><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"></v:f><v:f eqn="sum @8 21600 0"></v:f><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"></v:f><v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f></v:formulas><v:path connecttype="rect" gradientshapeok="t" extrusionok="f"></v:path><lock aspectratio="t" v:ext="edit"></lock></v:shapetype><v:shape><v:imagedata></v:imagedata></v:shape><

align=center class=MsoNormal style="MARGIN-LEFT: 21pt; TEXT-ALIGN: center; TEXT-INDENT: 21pt">（图6）<

21pt; TEXT-INDENT: 21pt">上图为一个任意角度（在规定的范围内）的根据上图所示，显然：<v:shape><v:imagedata></v:imagedata></v:shape>角度<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>即为不考虑大气层的折射率的时候的太阳能热水器的最佳受热倾角。若考虑大气层对太阳光的折射作用，某纬度的太阳能热水器的受热面的最佳受热倾角的计算模型如下所示：经过查阅相关的资料，我们可以知道：空气在20℃，760毫米汞高时的折射率为1.00027；大气层的厚度为50千米(由于大气层的质量中有99.9%以上都集中在50千米以下的范围)，即<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape><v:shape><v:imagedata></v:imagedata></v:shape>（图7）下图8为图7中的虚线框内部分的放大图。<v:shape><v:imagedata></v:imagedata></v:shape>（图8）<v:shape><v:imagedata></v:imagedata></v:shape>(图9)由上面的图7，图8和图9,我们知道：<v:shapetype><v:formulas><v:f eqn="val #0"></v:f><v:f eqn="sum 21600 0 #0"></v:f><v:f eqn="sum #1 0 #0"></v:f><v:f eqn="sum #1 #0 0"></v:f><v:f eqn="prod #0 9598 32768"></v:f><v:f eqn="sum 21600 0 @4"></v:f><v:f eqn="sum 21600 0 #1"></v:f><v:f eqn="min #1 @6"></v:f><v:f eqn="prod @7 1 2"></v:f><v:f eqn="prod #0 2 1"></v:f><v:f eqn="sum 21600 0 @9"></v:f><v:f eqn="val #1"></v:f></v:formulas><v:path connecttype="custom" textboxrect="13963,@4,21600,@5" connectlocs="21600,0;0,10800;21600,21600" arrowok="t"></v:path><v:handles><v:h yrange="0,@8" position="center,#0"></v:h><v:h yrange="@9,@10" position="topLeft,#1"></v:h></v:handles></v:shapetype><v:shape></v:shape><v:shape><v:imagedata></v:imagedata></v:shape><v:shape><v:imagedata></v:imagedata></v:shape><v:shape><v:imagedata></v:imagedata></v:shape> <v:shape><v:imagedata></v:imagedata></v:shape>综上可知：<v:shape><v:imagedata></v:imagedata></v:shape> 五．模型的求解：1)：问题1的求解： 如下图10所示，为春分，夏至，秋分，冬至的日期和地球相对于太阳的位置的直观图： 经过计算夏至，，秋分，冬至分别是春分过后的第94，187，277天，即可以知道春分，夏至，秋分，冬至相对应的<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>的值分别为0，94，187，277； 由上面四模型的建立中所建立的模型，我们可以通过计算得到： 通过代入<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>的值对<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>的模型<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>进行计算分别得到：杭州市：春分：<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape> 夏至：<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>秋分：<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape> 冬至：<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape><v:shape><v:imagedata></v:imagedata></v:shape>（图10）哈尔滨市：春分：<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape> 夏至：<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>秋分：<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape> 冬至：<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>2)：问题2的求解： i): 若该用户住在杭州市： 分析杭州市的太阳能热水器在一年内的最优受热角度的变化曲线（如图11所示：横轴表示最优的受热角度；纵轴表示日期<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>） <v:shape><v:imagedata></v:imagedata></v:shape>（图11）当<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>的时候，夏至：<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>而当<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>的时候，冬至：<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape> ii): 若该用户住在哈尔滨市： 下图12为哈尔滨市的太阳能热水器在一年内的最优受热角度的变化曲线： <v:shape><v:imagedata></v:imagedata></v:shape>（图12） 当<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>的时候，夏至：<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>而当<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>的时候，冬至：<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>综上所述：为了解决该用户夏天热水用不完，冬天不够用的问题，很显然我们应该调节太阳能热水器的受热角度，如果用户不怕麻烦或是该太阳能热水器能够轻易被调节受热角度的话，用户可以调节一下冬天的热水器的受热角度；反之，若热水器的调节很困难或是费用高，那么我们可以适当地调高热水器的受热面的角度，具体情况要看情况而定，如果夏天的热水很是充裕，而冬天的热水很是缺乏，那么调节的角度可以大一些。3）：问题3的求解： 为了简化该问题的求解过程，根据题意，我们不妨将一年划分成2个时间段：第一次调节到第二次调节和第二次调节到第二年的第一次调节两个时间段，我们只要各自满足在两个时间段中所能产生的热水的总数最多，这个产生热水最多的角度，即为我们所要调节到的角度，根据这个角度，我们可以求出调节角度的时间。如图11和图12所示，为了计算的简便，我们近似地将<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>函数看成时一个经过平移的正弦函数。 在这里，由于有很多不确定因素的存在，我们不可能得到一个精确的结果，只能通过近似的估计得出一个较优的结果。 在此题中，人们只是关心在某一个时间段内产生热水的总量的高低，并不怎么在乎热水的需求随着四季变化而产生的高低变化，由于热水器的受热面的最优角度和时间示不断变化的，根据假设，我们认为产生热水的多少只与该段时间中太阳折射热水器的受热板的面积有关。 假定调节到的角度为<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，则在某一天的中午，热水器的受热面与太阳光的夹角的大小<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，设热水器受热平面的面积为1，则在某一天的中午太阳光直射的面积为<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，我们每天都取一个面积的值，则在一个时间段（365/2天）中我们所取的面积之和为<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>。由此，我们近似估计得到调节的近似知道杭州市调节热水器角度的时间大概在4月中旬，而哈尔滨市相对于杭州市来说要相对的早些。4)：问题4的求解： 由于上述的的模型均考虑了大气层的折射对结果的影响，所以在此问中，我们只需要对两个城市一年四季的特点再做进一步的讨论即可： 考虑到受四季天气影响的是问题2和问题3，于是我们对其分别做了讨论： 对于问题2: 四季天气特点对其的影响主要的特点是夏天对于热水的需求量相对于冬天来说要小得多，所以若考虑四季天气特点对问题2得影响就是我们在调节热水器得倾角时可以将其角度在原来的基础上再适当的加大。 对于问题3：四季天气特点对于问题的影响和问题2差不多，影响的结果是两次调节的时间的顺延，调节角度的方向趋向于大的倾角，即向着有利于冬天能产生更多热水的方向调节热水器受热板的角度。 六．优化模型的构思： 1)：引入太阳光的强度概念，对问题3做进一步的探讨。综合分析四季天气特点，大气层对太阳光的折射作用，得出一个多维约束模型，使结果的可信度提高。 2)：在论文中加入四季周围环境事物的漫反射对结果影响，并赋予其相应的权重。这样一来使结果与实际更为符合。 七．模型的评价： 文中建立的模型在对于问题1和问题2解决上是比较能够让人接受的，但是对于问题3的解决上显示出了它自身的缺点，虽然给出了一个结果，但是里面加入了更多的个人的感情色彩，可以说它在解决问题3中是失败的。 八．给太阳能热水器厂家生产参考意见： 当代社会，能源紧缺，太阳能作为一种清洁、免费的能源而广受人们的青睐，发展前景令人乐观，太阳能热水器更是进入了千家万户，各个热水器的生产厂家竞相开发新型的热水器，在看好热水器行业的同时，我们也希望各个热水器的生产厂家能够在新型的热水器的设计中能够更多地考虑消费者所处的地方的纬度和四季的天气特点，以扩大销售量和消费人群。此外，希望各个厂家能够设计一种便于调整热水器的受热板的角度的新型热水器，并且给出各个纬度、各个时间段热水器受热板的最佳受热角度，这样一来，用户可以自己随时调整受热板的角度，以更好的采光采热。还有就是那些现在正被广泛使用的不能调节受热板角度的老型热水器的售后服务问题，我们可以根据问题3中所述的日子，每年定期地给用户调节热水器的受热板的角度，虽然实行这项服务可能需要的花费很大，但是我可以说这是有益无害的，在使自己的客户能够使用更多的热水的同时，亦给自己树立了一个良好的形象。各个厂家都应该采纳我的意见。

xingzhe456 · 发表于 2005-9-1 01:52:50

你怎么不把内容说清楚，让人有看不懂，说那干什么？连图都不著名，谁能看懂。[em16][em14]

freemankkc · 发表于 2005-9-2 07:02:59

楼主，太不清晰了，能不能把论文发到我的油箱里，<a href="mailtfreemankkc@163.com" target="_blank" >freemankkc@163.com</A>

zhaobaohua · 发表于 2005-9-4 17:52:01

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>什么题目啊，太高深了，看不懂[em06]

zy_shumo · 发表于 2005-9-8 05:55:19

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>能否发到我的数模邮箱
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>谢谢[em02]

mercurybei · 发表于 2005-12-12 19:47:48

小妹现在急需这道题答案。。因为老师把地区改为海南了。。所以跪求详细过程！谢谢各位了先！

lions · 发表于 2006-3-25 04:31:04

哥们，你的图很关键，可我看不到

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