将一个十进制数的各位数字按相反的顺序重新排列成一个正整数,则称这两个数互为反序数.数a的反序数记为rev(a).例如,rev(42)=24,
rev(180)=81.如果rev(a)=a,则称为回文数,如15351.
人们注意到65+56=11<SUP>2</SUP>,65-56=3<SUP>2</SUP> .即这一对反序数65与56的和,差都是平方数.这样的数还有:
621770+77126=836<SUP>2</SUP>,621770-77126=738<SUP>2</SUP> .
不难证明,形如(2*10<SUP>n</SUP> + 2)<SUP>2</SUP>/2 ,(2*10<SUP>2n</SUP> + 2*10<SUP>n</SUP> + 2)<SUP>2</SUP>/2 ,(2*10<SUP>3n+m</SUP> + 2*10<SUP>2n+m</SUP> + 2*10<SUP>n</SUP> + 2)<SUP>2</SUP>/2 的回文数都具有上述性质,其中n是自然数,m是非负整数.
除了这些回文数之外,还有多少个正整数a使得a+/-rev(a)都是完全平方数?
中国科学院的张建对此进行了研究.他将原问题变换为下列等价问题:
求自然数组(m,n),m>n,使得(m<SUP>2</SUP>+n<SUP>2</SUP>)/2与(m<SUP>2</SUP>-n<SUP>2</SUP>)/2互为反序数,且满足条件
(一)m与n奇偶性相同
(二)n能被3整除.
其中条件(一)可以保证(m<SUP>2</SUP>+/-n<SUP>2</SUP>)/2都是整数,而条件(二)是因为反序数之差能被9整除,例如,
(abc)-(cba)=(a*10<SUP>2</SUP>+b*10+c)-(c*10<SUP>2</SUP>+b*10+a)=99(a-c)
而现在反序数之差为(m<SUP>2</SUP>+n<SUP>2</SUP>)/2-(m<SUP>2</SUP>-n<SUP>2</SUP>)/2=n<SUP>2</SUP> .故n<SUP>2</SUP> 能被9整除.在计算机上计算数小时后,得出如下结果:
在不超过10<SUP>10</SUP>的自然数中,只有五个数满足要求,除了前面已经给出的两个外,另外三个是:
281089082 + 280980182 = 23708<SUP>2</SUP>,差 = 330<SUP>2</SUP>
2022652202 + 2022562202 = 63602<SUP>2</SUP>,差 = 300<SUP>2</SUP>
2042832002 + 2002382402 = 63602<SUP>2</SUP>,差 = 6360<SUP>2</SUP>
这种数究竟有多少?是有限个还是无穷多个?它们有何特性?还有待我们去研究,去发现. |
发表于 2004-8-6 20:19:21
楼主
>不明白！！</P>[em01][em01][em01][em01][em01][em01][em01]