传染病模型

hanbi

<>简单起见本例假定，在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变，既不考虑生死，也不考虑迁移<I>。</I>并且时间以天为计量单位<I>。</I>用当时的语言，即实行全面隔离状态<I>。</I><I><p></p></I></P>
<><B>模型</B><B>I</B><B>（</B><B><I>S</I></B><B>I</B><B>模型）</B>
　　假设条件为
　　1．人群分为健康者和病人，时刻<I>t</I> 这两类人在总人数中所占的比例分别记作<I>s</I>（<I>t</I>）和i（<I>t</I>）<I>。</I><p></p></P>
<>　　2．每个病人每天有效接触的平均人数是常数λ，λ称日接触率。当病人与健康者有效接触时，使健康者受感染变为病人。
　　根据假设，每个病人每天可使λ<I>s</I>（<I>t</I>）个健康者变为病人，因为病人数为Ni（<I>t</I>），所以每天共有λN<I>s</I>（<I>t</I>）<I>i</I>（<I>t</I>）个健康者被感染，于是λN<I>s</I>i就是病人数Ni的增加率，即有<SUB><v:shapetype> <v:stroke joinstyle="miter"></v:stroke><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"></v:f><v:f eqn="sum @0 1 0"></v:f><v:f eqn="sum 0 0 @1"></v:f><v:f eqn="prod @2 1 2"></v:f><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"></v:f><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"></v:f><v:f eqn="sum @0 0 1"></v:f><v:f eqn="prod @6 1 2"></v:f><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"></v:f><v:f eqn="sum @8 21600 0"></v:f><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"></v:f><v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f></v:formulas><v:path connecttype="rect" gradientshapeok="t" extrusionok="f"></v:path><lock aspectratio="t" v:ext="edit"></lock></v:shapetype><v:shape><v:imagedata></v:imagedata></v:shape></SUB>  （6.1）
　　又因为<I>s</I>（<I>t</I>）+i（<I>t</I>）=1   （6.2）
　　再记初始时刻（<I>t</I>=0）病人的比例为i<SUB>0</SUB>，则 <SUB><v:shape><v:imagedata></v:imagedata></v:shape></SUB>  （6.3）
　　求解为 　　<SUB><v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape></SUB>  （6.4）<p></p></P>
<P>可知：第一，当i=1/2时， <SUB><v:shape><v:imagedata></v:imagedata></v:shape></SUB>达到最大值<SUB> <v:shape><v:imagedata></v:imagedata></v:shape></SUB>，这个时刻为<SUB><v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape></SUB>  （6.5）
　　这时病人增加得最快，预示着传染病高潮的到来，是医疗卫生部门关注的时刻<I>。</I><I>t</I><SUB>m</SUB>与λ成反比，因为日接触率λ表示该地区的卫生水平，λ越小卫生水平越高<I>。</I>所以改善保健设施、提高卫生水平可以推迟传染病高潮的到来<I>。</I><I><p></p></I></P>
<P >第二，当<SUB><v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape></SUB>时<SUB> <v:shape><v:imagedata></v:imagedata></v:shape></SUB>，即所有人终将被传染，全变为病人，这显然不符合实际情况<I>。</I>其原因是模型中没有考虑到病人可以治愈，人群中的健康者只能变成病人，病人不会再变成健康者<I>。</I>
　　　　<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape><p></p></P>
<P><B>模型</B><B>II</B><B>（</B><B><I>S</I></B><B>I<I>S</I></B><B>模型）</B>  
　　有些传染病如伤风、痢疾等愈后免疫力很低，可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变成健康者，健康者还可以被感染再变成病人，所以这个模型称<I>S</I>I<I>S</I>模型<I>。</I><I>
</I><I>　　</I><I>S</I>I<I>S</I>模型的假设条件1、2与<I>S</I>I模型相同，增加的条件为
　　3．病人每天被治愈的占病人总数的比例为μ，称为日治愈率<I>。</I>病人治愈后成为仍可被感染的健康者<I>。</I>显然1/μ是这种传染病的平均传染期<I>。</I> 考虑到假设3，<I>S</I>I模型的（6.1）式应修正为
　　<SUB><v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape></SUB>   （6.6） ,于是（6.3）式应改为 　　<SUB> <v:shape><v:imagedata></v:imagedata></v:shape></SUB>    （6.7）
　　求解为　　<SUB><v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape></SUB>   （6.8）
　　令<SUB><v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape></SUB>，并注意到<SUB> <v:shape><v:imagedata></v:imagedata></v:shape></SUB>的意义，可知<SUB><v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape></SUB>是一个传染期内每个病人有效接触的平均人数，称接触数，由此及（3.42）式容易得到，当<SUB> <v:shape><v:imagedata></v:imagedata></v:shape></SUB>时 　　<SUB> <v:shape><v:imagedata></v:imagedata></v:shape></SUB>　 <v:shape><v:imagedata></v:imagedata></v:shape>
　　　　　　　　　　　　　 图3—6
　　接触数<SUB><v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape></SUB>是一个阈值<I>。</I>当<SUB><v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape></SUB>时病人比例i（<I>t</I>）越来越小<I>。</I>最终趋于零，这是由于传染期内经有效接触从而使健康者变成的病人数不超过原来病人数的缘故；当<SUB><v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape></SUB>时i（<I>t</I>）的增减性取决于<SUB> <v:shape><v:imagedata></v:imagedata></v:shape></SUB>的大小（如图3-6），但其极限值<SUB><v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape></SUB>随<SUB><v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape></SUB>的增加而增加<I>。
　</I><B>模型</B><B><FONT face="Times New Roman">III</FONT></B><B>（</B><FONT face="Times New Roman"><B><I>S</I></B><B>I<I>R</I></B></FONT><B>模型）</B><FONT face="Times New Roman">  
</FONT>　　大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很强的免疫力，可以认为他们已经退出传染系统<I>。</I>这种情况下的模型假设条件为<FONT face="Times New Roman">
</FONT>　　<FONT face="Times New Roman">1</FONT>．人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者三类，称<FONT face="Times New Roman"><I>S</I>I<I>R</I></FONT>模型<I>。</I>三类人在总人数<FONT face="Times New Roman">N</FONT>中占的比例分别记作<I><FONT face="Times New Roman">s</FONT></I>（<I><FONT face="Times New Roman">t</FONT></I>）、<FONT face="Times New Roman">i</FONT>（<I><FONT face="Times New Roman">t</FONT></I>）和<I><FONT face="Times New Roman">r</FONT></I>（<I><FONT face="Times New Roman">t</FONT></I>）<I>。</I><FONT face="Times New Roman">
</FONT>　　<FONT face="Times New Roman">2</FONT>．病人的日接触率为<SUB><FONT face="Times New Roman"> </FONT><v:shape><v:imagedata><FONT face="Times New Roman"></FONT></v:imagedata></v:shape></SUB>，日治愈率为<SUB> <v:shape><v:imagedata></v:imagedata></v:shape></SUB>（与<I>S</I>I模型相同），传染期接触数为<SUB><v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape></SUB><I>。</I>
　　由条件1显然有<I>s</I>（<I>t</I>）+i（<I>t</I>）+<I>r</I>（<I>t</I>）=1  （6.9） 根据条件2方程（6.6）仍成立<I>。</I>对于病愈免疫的移出者而言应有 　　　<SUB><v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape></SUB>  （6.10） 且<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>。再记初始时刻的健康者和病人的比例分别是<SUB> <v:shape><v:imagedata></v:imagedata></v:shape></SUB>和<SUB> <v:shape><v:imagedata></v:imagedata></v:shape></SUB>则有：　　　　　 <SUB><v:shape><v:imagedata></v:imagedata></v:shape></SUB>（6.11）
　　因为方程（6.11）无法求出<I>s</I>（<I>t</I>）和i（<I>t</I>）的解析解，我们转到相平面<I>s</I>～<I>i</I>上来讨论解的性质<I>。</I>相轨线的定义域<SUB> <v:shape><v:imagedata></v:imagedata></v:shape></SUB>应为 　　<SUB> <v:shape><v:imagedata></v:imagedata></v:shape></SUB>（6.12）<p></p></P>
<P  align=left><v:shape><v:imagedata></v:imagedata><w:wrap type="square"></w:wrap></v:shape>在方程（6.11）中消去d<I>t</I>并注意到<SUB><v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape></SUB>的定义，可得　　　　　 <SUB><v:shape><v:imagedata></v:imagedata></v:shape></SUB>    （6.13）
　　容易求出方程（6.13）的解为 　　　　　　　 <SUB><v:shape><v:imagedata></v:imagedata></v:shape></SUB>  （6.14）　　
　　在定义域内，（6.14）式表示的曲线即为相轨线，如右图所示，其中的箭头表示了<I>s</I>（<I>t</I>）和i（<I>t</I>） 随着时间<I>t</I>的增加而变化的趋势<I>。</I>由此，我们分析<I>s</I>（<I>t</I>），i（<I>t</I>）及<I>r</I>（<I>t</I>）的变化：   <p></p></P>
<P  align=left>1．不论初始条件<I>s</I><SUB>0</SUB>、i<SUB>0</SUB>如何，病人终将消失，即<SUB><v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape></SUB>   <p></p></P>
<P  align=left>2．最终未被感染的健康者的比例是<SUB><v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape></SUB>，是方程 <SUB><v:shape><v:imagedata></v:imagedata></v:shape></SUB>  （6.15）　在<SUB> <v:shape><v:imagedata></v:imagedata></v:shape></SUB>内的单根<I>。<p></p></I></P>
<P  align=left>3．若<SUB><v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape></SUB>，则i（<I>t</I>）先增加，当<SUB><v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape></SUB>时，i（<I>t</I>）达到最大值<SUB> <v:shape><v:imagedata></v:imagedata></v:shape></SUB>，然后i（<I>t</I>）减小且趋于零，<I>s</I>（<I>t</I>）则单调减小至<SUB><v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>.</SUB>　　　　　　　　　　<p></p></P>
<P >4．若<SUB><v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape></SUB>，则i（<I>t</I>）单调减小至零，<I>s</I>（<I>t</I>）单调减小至<SUB><v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>.<p></p></SUB></P>
<P><B >模型应用：</B><B ><p></p></B></P>
<P >可以看出，如果仅当病人比例i（<I>t</I>）有一段增长的时期才认为传染病在蔓延，那么<SUB><v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape></SUB>是一个阈值，当<SUB><v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape></SUB>（即<SUB> <v:shape><v:imagedata></v:imagedata></v:shape></SUB>）时传染病就会蔓延<I>。</I>而减小传染期接触数<SUB><v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape></SUB>，即提高阈值<SUB><v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape></SUB>，使得<SUB><v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape></SUB>（即<SUB> <v:shape><v:imagedata></v:imagedata></v:shape></SUB>），传染病就不会蔓延<I>。</I>我们注意到在<SUB><v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape></SUB>中，人们的卫生水平越高，日接触率λ越小；医疗水平越高，日治愈率μ越大，于是<SUB><v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape></SUB>越小，所以提高卫生水平和医疗水平有助于控制传染病的蔓延<I>。</I>
　　从另一方面看，<SUB><v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape></SUB>是传染期内一个病人传染的健康者的平均数，称为交换数，其含义是一个病人被<SUB><v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape></SUB>个健康者交换<I>。</I>所以当<SUB><v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape></SUB>，即<SUB><v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape></SUB>时，必有<SUB><v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape></SUB><I>。</I>既然交换数不超过1，病人比例i（<I>t</I>）绝不会增加，传染病不会蔓延<I>。</I>
　　我们看到在<I>S</I>I<I>R</I>模型中接触数<SUB><v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape></SUB>是一个重要参数<I>。</I><SUB><v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape></SUB>可以由实际数据估计，因为病人比例的初始值i<SUB>0</SUB>通常很小，在（6.15）式中略去i<SUB>0</SUB>可得 　　　　　 <SUB><v:shape><v:imagedata></v:imagedata></v:shape></SUB>   （6.16）
　　于是当传染病结束而获得<SUB><v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape></SUB>和<SUB><v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape></SUB>以后，由（3.51）式能算出<SUB><v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape></SUB><I>。</I>另外，对血样作免疫检验也可以根据对检验无反应和有反应，估计出<SUB><v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape></SUB>和<SUB><v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape></SUB>，然后计算<SUB><v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape></SUB><I>。</I><I><p></p></I></P>
<P>5．群体免疫和预防<B> </B>
　　根据对<I>S</I>I<I>R</I>模型的分析，当<SUB><v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape></SUB>时传染病不会蔓延<I>。</I>所以为制止蔓延，除了提高卫生和医疗水平，使阈值<SUB><v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape></SUB>变大以外，另一个途径是降低<SUB><v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape></SUB>，这可以通过譬如预防接种使群体免疫的办法做到<I>。</I>
　　忽略病人比例的初始值<SUB><v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape></SUB>，有<SUB><v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape></SUB><I>。</I>于是传染病不会蔓延的条件<SUB><v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape></SUB>可以表为   <SUB><v:shape><v:imagedata></v:imagedata></v:shape></SUB>  （6.17） 这就是说，只要通过群体免疫使初始时刻的移出者比例（即免疫者比例）<I>r</I><SUB>0</SUB>满足（6.17）式，就可以制止传染病的蔓延<I>。</I>
　　当然，通过预防接种及群体免疫的办法需要对传染病理及途径有充分的了解，往往需要较长时间进行研究，并且要大面积接种。因此，提高卫生和医疗水平，提高人类文明程度，克服卫生恶习、陋习才是本质所在<I>。</I>这是此次<I>S</I>A<I>RS</I>病暴发传染给我们的最大提示<I>。</I><B ><p></p></B></P>