第十九讲运筹学模型（3）——目标规划模型

yunjiang · 发表于 2004-7-22 10:25:53

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align=left>　　在实际问题中，经常是在一组约束条件下，希望同时实现多个目标。例如，在企业安排生产问题中，既希望利润高，又要消耗低，还要考虑市场上产品的销路等等。当然，这些目标之间往往是相互矛盾的，要追求利润最大，通常消耗便不可能最低。能否构造这样一个数学模型，其结果，即使利润尽量地大，同时使消耗尽量地低，销路尽量地好呢?
　　例1 多目标生产计划问题
　　某工厂计划用所拥有的三种资源生产代号为A、B的两种产品，原材料资源可供量为90吨，使用专用设备台时最多为200台时，劳动力300个；生产单位产品A需用原材料2.5吨，设备台时4个和劳动力3个，产品B则需用原料1.5吨，设备台时5个和劳动力10个。扣除成本，每单位产品A、B分别可获利7(百元)和12(百元)，求一个生产计划，使获利最大。
　　据题设，容易得到其线性规划基础模型为
　　<IMG src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_19/htm/sxjm19.files/image060.gif"> 　　
　　其中x1，x2依次表示产品A 和B的生产量。使用图解法可求出其绝对最优解为x1=20，x2=24，最大利润值为428(百元)。

yunjiang · 发表于 2004-7-22 10:26:08

问题分析与模型假设
　　1. 上述结果并未考虑市场信息和资源的可塑性条件，仅仅根据现有生产能力和固定不变的产品价格求得的，因而是脱离实际的“理想化”方案。依据市场调查和生产能力，厂长认为上述利润指标不易达到，决定降低为420(百元)，当然力求超过。
　　2．根据市场调查和预测，产品B开始出现滞销现象，随着市场需求的改变，预测两种产品的需求量比例大致为1:1，而目前的产品比例失调，有待调整。
　　3．根据原材料市场信息，这种原材料的市场价格下跌，而所生产的产品价格基本稳定，故决策者希望尽量将原材料转化为产品，即希望原料要全部用掉。但按原生产计划看，原材料将有剩余(4吨)。因此，尽可能将原材料全部转化为利润成为一个重要的生产规划指标。
　　这了叙述方便，先来考虑单利润指标情况。
　　实现利润420是决策者的希望，但在计划具体实施后，由于各方面因素的制约，完全有可能达不到，也完全可能超过该指标，换句话说，可能实现的利润指标和规定的利润指标完全可能不一致而产生某一差距。我们称这个差距为偏差变量，记以d。规定d≥0。
　　从决策者的心理和要求来分析，使之绝对满意可以做不到，但他总希望将来得到的实际利润与规定的指标值之间偏差量愈小愈好，这就“等价地”表出了他希望利润值达420的目标。当然，他所希望的是未达规定指标的实际值与规定值的偏差量越小越好。我们引入下述符号：
　　d+——表示超出指标的偏差变量，称为正偏差变量。
　　d－——表示未达指标的偏差变量，称为负偏差变量。
　　自然规定d+≥0，d－≥0。

yunjiang · 发表于 2004-7-22 10:26:25

显然，偏差变量d+，d－的取值有且仅有下述三种情形：
　　i)超额完成指标时，d+＞0，d－=0；
　　ii)未能完成指标时，d－＞0，d+=0；
　　iii)恰好完成指标时，d+=0，d－=0。
　　有了偏差变量的概念，上述利润指标就可以比较灵活地进行表示了。事实上，决策者的目标是利润达到或超过420。因此，他所希望的自然是d+＞0。但实际中完全可能d－＞0，这是决策者所不希望出现的，而一但出现d－＞0，也希望d－尽可能地小。因此，决策者最关心是d－达到最小，故此时的目标函数可表示为 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_19/htm/sxjm19.files/image006.gif">
　　这样，我们把目标函数写成了偏差变量的函数。
　　注意，例子中原来的目标函数显然不再成为目标规划的目标函数。由于它在目标规划中只是问题要达到的目标之一，因而也成了一个约束条件。事实上，作为目标之一的利润值已被限制(约束)在420百元，用偏差变量很容易将它表成为 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_19/htm/sxjm19.files/image008.gif"> 。它自然是约束条件，而且确切地表出了目标利润应为420百元这一约束。事实上，当达不到420百元时，由于 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_19/htm/sxjm19.files/image010.gif"> d+=0，
　　从而d－=420－(7x1+12x2)>0，
　　即d+=0，d－>0，恰好说明利润指标未达要求；当超过420百元时，由于 7x1+12x2>420，d－=0，
　　故 d+=(7x <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_19/htm/sxjm19.files/image012.gif"> +12x <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_19/htm/sxjm19.files/image014.gif"> )－420>0；
　　而当利润恰为420百元时，因d－=d+=0，故有 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_19/htm/sxjm19.files/image016.gif">

yunjiang · 发表于 2004-7-22 10:26:43

由于这一约束条件是目标规划的目标之一的约束要求，故又称为目标约束，其特点是带有偏差变量的等式约束。
　　凡非目标约束的约束条件统称为系统约束或刚性约束。也相应地称目标约束为柔性约束，这主要是因为这种约束较刚性约束来的灵活。　　
　　至此，我们可把上述单利润指标的规划问题写成如下形式: <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_19/htm/sxjm19.files/image018.gif">
　　<img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_19/htm/sxjm19.files/image058.gif">
　　 称这种规划模式为目标规划模式。其特点主要两条，其一是目标函数是各目标的偏差变量的函数，其二是约束条件中含有目标约束条件。
　　有了上面关于单指标目标规划的构模原理，我们来讨论具有三个指标情形的例1该如何构模。

yunjiang · 发表于 2004-7-22 10:26:57

模型建立
　　对利润指标已有<img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_19/htm/sxjm19.files/image025.gif"> ，及相应的目标约束
　　　　　　　　　　　 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_19/htm/sxjm19.files/image027.gif"> 
　　这里将偏差变量给以下标1表示利润指标对应的偏差变量。
　　现考虑原材料要求的指标。记d2表示原材料偏差变量，则<img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_19/htm/sxjm19.files/image029.gif"> 表示未用量，<img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_19/htm/sxjm19.files/image031.gif"> 表示超用量，由于希望90吨原料全部用完，既不希望有余也不希望超支，故目标函数应为<img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_19/htm/sxjm19.files/image033.gif"> 
　　相应的目标约束完全类似利润指标情形，应为
　　　　　　　　 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_19/htm/sxjm19.files/image035.gif"> 
　　又设d3表示产品比例指标偏差变量。即以d3表示产品A和B之产量差距，则由于要求两种产品的产量尽可能达到或接近1:1，故有目标函数
　　　　　　　　 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_19/htm/sxjm19.files/image037.gif"> 
　　其对应的约束条件可写为 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_19/htm/sxjm19.files/image039.gif"> 
　　这是一个新增加的目标约束，当两产品产量一致时，x1－x2=0，从而 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_19/htm/sxjm19.files/image041.gif"> 。

yunjiang · 发表于 2004-7-22 10:27:11

我们的目的是求这三个目标的统一体的最优化方案，即从整体看，我们希望各个指标的偏差总和达最小，要把所涉及指标都考虑到，只能按各目标的轻重缓急分级考虑。事实上，各目标的重要程度是不同的，可以因人，因地，因时而异。比如产品的产量问题，对有的企业来讲是第一位的，而对别的企业来讲则是第二位的；同一企业此时此地产量第一而彼时彼地可能产量就放在第二位甚至于第三位，等等。这就需要决策者或决策集团根据各目标的重要程度，科学地予以排队。我们规定p1表示第一位重要，p2表示第二位重要，即满足
　　　　　　　　 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_19/htm/sxjm19.files/image043.gif"> 
　　称pk为优先因子。如第一位重要的目标是要求超额完成利润指标，则赋予它优先因子p1，其在整个问题的目标函数中表为<img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_19/htm/sxjm19.files/image045.gif">，列为第一优先级；其次目标是要求恰好用完原材料，赋予优先因子p2，列为第二优先级表为 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_19/htm/sxjm19.files/image047.gif"> 最后是要求产品产量比例达1:1的目标，赋予优先因子p3，列为第三优先级，在整体目标函数中表为<img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_19/htm/sxjm19.files/image049.gif"> 于是整个问题的目标函数表为 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_19/htm/sxjm19.files/image051.gif"> 
　　从而三个目标的例1的目标规划模型便是
　　　 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_19/htm/sxjm19.files/image053.gif"> 
　<img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_19/htm/sxjm19.files/image059.gif">

duanshumo · 发表于 2004-7-24 00:31:02

谢谢你的帖子

coeeoc · 发表于 2004-8-10 02:58:34

谢谢

schhaozi · 发表于 2004-8-18 04:30:15

<

>谢谢!我从中学到了很多东西,只不过我有一点不明白,为什么题中说到原料提供量为90吨,<

>而你在列表达式的时候还要考虑其用量超过d2+呢??

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第十九讲 运筹学模型（3）——目标规划模型

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