第四讲 建模方法论（３）——模型建立与求解

yunjiang

　 有了问题分析和模型假设做雄厚基础，就到了建立模型这个最关键的步骤了。
　　根据假设分析相关变量间关系，寻求等量（不等量）关系或其它关系以建立模型时，应充分利用第一讲中所述的几个常用手段。如利用平衡原理及各种有关定律寻求等量关系，利用已知领域的已知模型或结果，通过类比联想等方法构造模型，利用图示方法等等。至于建立何种模型， 要依据问题分析与模型假设的情况，更要结合自己的数学基础和使用模型的对象等具体情况，不能一概而论。这里先对上两讲所提到的几个实例进行建模与求解。
　　<B>例</B><B>1</B>方桌问题数学模型的求解。
　　依假设条件，四个桌脚连线呈正方形，因而以其中心为对称点，令正方形绕中心旋转便表示了方桌位置改变，于是可以用旋转角度的变化表达桌子的不同位置。为了确定起见，我们以这个正方形中心为原点建立平面直角坐标系，并假设旋转开始时（角度<SUB> <IMG src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image006.gif"> </SUB>），四个桌脚点<I>A</I><I>、</I><I>B</I><I>、</I><I>C</I><I>、</I><I>D</I>中<I>A</I><I>、</I><I>C</I>位于<I>x</I>轴上，则<I>B</I><I>、</I><I>D</I>位于<I>y</I>轴上。旋转角度<SUB> <IMG src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image008.gif"> </SUB>后，点<I>A</I><I>、</I><I>B</I><I>、</I><I>C</I><I>、</I><I>D</I>变到点<I>A’</I><I>、</I><I>B’</I><I>、</I><I>C’<SUB> <IMG src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image009.gif"> </SUB></I><I>、</I><I>D’</I>（图1—5）<I>，</I>显然，随着<SUB> <IMG src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image010.gif"> </SUB>的改变，方桌的位置也跟着改变，从而桌脚与地面距离也随之改变。注意到试验结果，尽管方桌有四只脚，因而有四个距离，但对于每个角度，总有点<I>A</I><I>、</I><I>C</I>同时着地而<I>B</I><I>、</I><I>D</I>点不同时着地或<I>B</I><I>、</I><I>D</I>点同时着地，而<I>A</I><I>、</I><I>C</I>点不同时着地，故只要设两个距离函数即可。
　　　　　　　　　　 <IMG src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/images/01.gif">
　　　　　　　　　　　　　　　图1—5

yunjiang

　　设<I>A</I><I>、</I><I>C</I>两脚与地面距离之和为<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image012.gif"> </SUB>，<I>B</I><I>、</I><I>D</I>两脚与地面距离之和为<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image014.gif"> </SUB>，且作为距离函数的<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image015.gif"> </SUB><SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image017.gif"> </SUB>均为非负函数。由假设4，<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image018.gif"> </SUB>与<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image020.gif"> </SUB>均为连续函数。而由假设3，对任一角度<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image021.gif"> </SUB>，恒有<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image022.gif"> </SUB>=0而<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image024.gif"> </SUB>或<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image026.gif"> </SUB>而<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image028.gif"> </SUB>，即对<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image030.gif"> </SUB>又为证明存在角度<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image032.gif"> </SUB>，使<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image034.gif"> </SUB>=0,<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image036.gif"> </SUB>=0同时成立，还需要条件支持。注意到在初始位置<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image038.gif"> </SUB>，或<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image040.gif"> </SUB>=0,<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image042.gif"> </SUB><SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image044.gif"> </SUB>0或<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image046.gif"> </SUB><SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image047.gif"> </SUB>0，<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image049.gif"> </SUB>=0，而旋转90&ordm;后，两组条件恰好交换。如此，方桌通过旋转改变位置能放稳的证明，便归结为证明如下的数学命题：
　　已知<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image050.gif"> </SUB><SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image051.gif"> </SUB>是<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image052.gif"> </SUB>的连续函数，对任意<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image053.gif"> </SUB>，<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image055.gif"> </SUB>且<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image057.gif"> </SUB>时<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image059.gif"> </SUB>。
　　求证：存在<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image061.gif"> </SUB>，使<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image062.gif"> </SUB>=<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image063.gif"> </SUB>=0。
　　这就是方桌问题的数学模型。易见只需引进一个变量<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image064.gif"> </SUB>及其一元函数<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image065.gif"> </SUB><SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image066.gif"> </SUB>，便把模型条件和结论用简单又精确的数学语言表述出来。从而形成所需要的数学模型。
　　<b>模型的求解</b>
　　就本例来说，容易看出本模型属于一元连续函数的零点存在性问题，使用介值定理便可轻松证明它，这里从略。

yunjiang

<><B>　　</B><B>例2</B>（走步问题）模型的建立和求解<B>。</B>
<B>　　</B><b>建立模型</b>  
　　先计算两个能量。
　　（1）人体重心提高所需的势能
　　　　　　　　　　　<img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/t1.gif">
　　　　　　　　　　　　 图1—6
　　（1）人体重心提高所需的势能
如图1—6表示的是人的行走简化图。若记<I>h</I>为重心抬起的高度，则有
　　　　　　　　<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image070.gif"> </SUB>
　　　　　　　　　<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image072.gif"> </SUB>  
　　由势能定律，单位时间重心抬高<I>h</I>所需势能为
　　　　　　　<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image074.gif"> </SUB>  （g为重力加速度）
　　　　　　　　 <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image076.gif">
</SUB>　　（2）双腿运动所需动能
　　按假设3及动能定律
　　　　　　　 <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image078.gif"> </SUB>
其中<I>I</I>为转动惯量，<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image080.gif"> </SUB>为角速度，而<I>I</I>可由积分算得为</P><><SUB>　　　　　　　　　<img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image082.gif"> </SUB>
故有</P><><SUB>　　　　　　　　　<img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image084.gif"> </SUB>
注意到<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image086.gif"> </SUB>，则可得到单位时间所作的功为</P><P><SUB>　　　　　　　　 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image088.gif">
　　 </SUB>此即所求数学模型。</P>

yunjiang

<b>　求解模型 </b>
　　由于求的是<I></I>的最小值，因此可利用导数方法，即令<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image090.gif"> </SUB>便可求得最佳步长及步数
　　　　　　 <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image092.gif"> </SUB>
　　本结果含参数较多，特别是表达式中有<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image094.gif"> </SUB>，不便于分析和应用。可否通过对模型进行简化从而使得计算得到简化呢？
　　首先从计算方便的角度，势能项中<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image096.gif"> </SUB>项可以利用其二项展开式的前两项代替之，便得<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image098.gif"> </SUB>，计算立刻变得简捷多了。这个简化是因为假设<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image099.gif"> </SUB><SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image101.gif"> </SUB>通常较小，一般大约在1/2左右，而取前两项进行近似代替，舍去的是<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image103.gif"> </SUB><SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image105.gif"> </SUB>。当然还可以再多取一项，以<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image107.gif"> </SUB>近似代替。由于这个级数收敛较快，故此近似代替的假设是合理的。
　　这种利用展开式作近似代替，以使求解变简是很常用的一种处理数学模型的方法，希望引起读者重视。
　　其次，在动能项的讨论中，可以假设腿的重量集中在脚上（合理的建设应该是整个身体的重量集中在脚上），这样腿运动所需动能即成为脚在作直线运动所需的动能，由此有
　　　　　　　　　　　 <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image109.gif"> </SUB>
从而
　　　　　　　　　　　 <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image111.gif"> </SUB>
此时令<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image113.gif"> </SUB>，便可得到
　　　　　　　　　　　 <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image115.gif"> </SUB>
　　这个结果便容易进行分析和应用了。

yunjiang

　　<B>例3</B>（热传导问题）模型建立与求解
　　由物理知识，热量的传导规律描述如下：
　　若厚度为<I>d</I>的均匀介质，其两侧温度差为<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image117.gif"> </SUB>，则单位时间内由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量<I>Q</I>与<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image118.gif"> </SUB>成正比，与<I>d</I>成反比，即
<SUB>　　　　　　　　　　　　　　　　<img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image120.gif"> </SUB>                 （1.1）
　　其中<I>k</I>为热传导系数。
　　假设单层窗厚度为2<I>d</I>，双层窗厚度也为2<I>d</I>，但分为两个厚度为d的部分（如图1—7）（这样的对比才合理）。两层窗中有宽度为<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image122.gif"> </SUB>的不流动空气，我们来建立两种窗户的热量传导（热量损失值）表达式以比较说明双层窗的优势是否存在，若存在可达多大。
　　　　　 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image124.jpg">
　　　　　　　　　　　 　　　图1—7
　　 如图1—7，设双层窗里层玻璃的外侧温度为<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image126.gif"> </SUB>，外层玻璃的内侧温度为<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image128.gif"> </SUB>，常数<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image130.gif"> </SUB>如假设2，并设玻璃的热传导系数为<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image132.gif"> </SUB>，空气的热传导系数为<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image134.gif"> </SUB>，则由公式（1.1）所给定律知，双层窗两层玻璃与一层空气的热量传导值为
　　　　<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image136.gif"> </SUB>        （1.2）
　　为与单层玻璃窗做比较，从（1.2）式中消去<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image138.gif"> </SUB>与<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image140.gif"> </SUB>，代入（1.2）式左边第一式并整理即得到双层窗热传导值为
　　　　　　　<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image143.gif"> </SUB>,而<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image145.gif"> </SUB>          （1.3）
又显然有单层窗的热量传导值为
　　　　　　　　　　　　　<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image147.gif"> </SUB>             （1.4）
式（1.3）与（1.4）式即为用于比较分析所需数学模型。

yunjiang

　　<B>模型求解</B>
　　我们的目的是对两种玻璃窗的效果进行比较，而这只须将两个不同的热传导值进行比较即可.明显地有
　　　　　　　 　<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image149.gif"> </SUB>            （1.5）
故知<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image151.gif"> </SUB>，即双层窗热量损失必小于单层窗的热量损失.为了使结果具体化，根据所查阅资料知，常用玻璃的热传导系数<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image153.gif"> </SUB>到<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image155.gif"> </SUB>（焦耳/厘米&#8226;秒&#8226;度），不流通、干燥空气的热传导系数<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image157.gif"> </SUB>（焦耳/厘米&#8226;秒&#8226;度），于是知<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image159.gif"> </SUB>在16-32之间.取最保守的估计：<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image160.gif"> </SUB>=16代入（1.3）式和（1.5）式立即得到
　　　　 <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image162.gif"> </SUB>,    而<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image164.gif"> </SUB>。           （1.6）<B> </B>

yunjiang

<>　　<B>例4</B>（宇宙速度问题）模型的建立与求解
<B>　　建立模型
　　</B>按假设，取铅垂线为<I>S</I>轴，地球中心为原点，向上方向为<I>S</I>轴正向建立坐标系（<a href="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/07.htm#" target="_blank" ><FONT color=#0000cc>如图1—8</FONT></A>）。设物体运动方程为<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image168.gif"> </SUB>，依假设3，该物体的运动只受万有引力作用，利用牛顿第二定律有
　　　　　　　　　　　　<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image170.gif"></SUB>
其中的负号是因为飞行方向与引力相反。化简即得
<SUB>　　　　　　　　　　　　　<img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image172.gif"> </SUB>        （1.7） <SUB>
　　</SUB> 这是一个二阶常微分方程，为确定起见，尚需找出（1.7）的两个初始条件。由假设2知，由于在地面上以初始速度<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image174.gif"> </SUB>上抛，故有
<SUB>　　　　　　　　　　　　　<img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image176.gif"> </SUB>  （1.8）
于是初值问题
　　　　　　　　<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image178.gif"> </SUB>       （1.9）
即为问题的数学模型。
<B>　　</B><B>模型求解</B>
　　初值问题（1.9）的方程为二阶方程且不显含自变量<I>t</I>，令
　　　　　　　　<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image180.gif"> </SUB>    则   <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image182.gif"> </SUB>
代入（1.7）得
　　　　　　　　　 <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image184.gif"> </SUB>
此为一阶可分离变量方程，用分离变量法求解得
　　　　　　　　　 <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image186.gif"> </SUB>
代入初始条件，整理后得
　　　　　　<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image188.gif"> </SUB>             （1.10）
　　此即为所求的速度应满足的解析表达式。</P><><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/images/02.gif"></P>

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