第一讲建模方法论——序论与建模方法概论

yunjiang · 发表于 2004-7-22 09:37:42

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>（一）序 论
　　1．为甚麽研究数学建模问题
　　（1）一门科学的发展水平可以用数学被应用于该门科学的水平作为标志。
　　（2）数学的应用已经迅速进入了人们生产和生活的众多领域，诸如经济、人口、生态、医学、社会等领域。
　　（3）数学的功能。解决实际问题的有力工具。尤其对于广大的科技人员和应用数学工作者，建立数学模型是沟通摆在他们面前的实际问题与他们掌握的数学工具之间联系的一座必不可少的知识之桥。
　　（4）数学建模领域是我们数学工作者自由驰骋的最广阔天地。
　　2．数学建模课程学习的内容
　　（1）通过一些典型实例介绍数学建模的基本概念、特点、功能和基本方法与基本步骤。这一部分是学好建模课程的基础，务请引起重视。
　　（2）介绍最常见的四类基本数学模型的建立方法及相关学科知识。并通过一些典型实例加以详尽说明。
　　（3）为学有余力的学员进一步了解一个常用的建模方法——层次分析法。由于这个方法简单而使用面较广，根据学员的意见，在本课最后安排了两个学时的讲解。
　　3．数学建模课程的习题配置问题的说明 
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<TABLE height=425 cellSpacing=0 cellPadding=0 width=476 align=center border=0>

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>　　4．学习建议
　　总的建议是亲身去做，去实践。为此一是要大量阅读、思考别人做过的模型，二是要亲自动手，认真地做上几个实际题目。我们的具体建议如下：
　　（1）学习中随时翻阅可能已经有些淡忘的相关数学专业知识方面的书籍，不能因为数学专业知识欠牢而影响用它们去解决实际问题这一主题。特别是《数学分析》、《高等代数》、《概率论与数理统计》、《微分方程》与《运筹学》五本专业书籍，应放在身边随时备查。
　　（2）认真弄懂书中每一个具体的实例，其内容步骤是什么，用到了什么建模方法。特别是要知晓它是怎样从实际问题转化为数学模型的。开始时可能感到无从入手，不必担扰，随着学习过程逐渐展开，只要你是认真的，定会一步一步解脱困惑。
　　（3）每一章、节下来，只要书后有的思考题、练习题（量很小），一定一个不漏地试着用学习过的方法和步骤解决掉。
　　（4）充分结合文字教材和录相教材内容进行同步学习。
　　（5）就近与2－3个同学组成一个学习小组，在争论中求得知识的互补与问题的成功解决。也为完成平时作业打下基础。
　　综上，勤动脑，勤思考与勤动手是学好数学建模课的关键，务求落实。总之，要学好数学建模是需要下些功夫的，而一旦将这个重要方法学到手，对我们数学工作者来说将受益终身。
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<TD vAlign=bottom align=middle height=15>　</TD>
<TD vAlign=bottom align=right width="15%" height=15></TD></TR></TABLE>

yunjiang · 发表于 2004-7-22 09:38:04

（二）建模方法概论
　　1．关于数学模型和数学建模的定义
　　应该说数学模型与数学建模是大家早已十分熟悉的概念。早在中学的时候我们就已经用建立数学模型的方法来解决实际问题了，只不过这些问题是老师为教会学生相关知识而事先人为设置好了的，我们也没有充分注意到它就是数学模型罢了。譬如说下述这类“实际”问题。
　　设某厂投产一种新型家用轿车，第一年生产了4万辆，第二年、第三年产量持续增长，计划到第三年末，市场共拥有19万辆这种品牌的轿车，那么后两年的增长率是多少?
　　这是中学代数中的一道应用题——增长率问题。设平均增长率为x，则易得 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_01/htm/sxjm1.files/image004.gif"> 。求解之即可。
　　实际上，这里的一元二次方程就是上述增长率问题的数学模型。一旦给出这个模型，这个现实问题便转化为纯粹的数学问题，而求解这个数学问题得到的x的值 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_01/htm/sxjm1.files/image006.gif"> 便给出了这个现实对象的一个解答。当然 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_01/htm/sxjm1.files/image008.gif"> 经检验不符合题意（实际）而舍去。至此，这个现实对象经过这种数学的处理后获得解决。
　　诚然，真正实际问题的数学模型与建立数学模型的过程通常要比之复杂得多，但其基本内容与过程已经包含在建立和求解这个代数应用题的过程中了。即有以下建模基本过程：
　　第一步：根据现实对象的背景和要求进行问题分析：
　　若增长率为常数x，根据题意，第二年的产量为4（1+x）,第三年的产量为4（1+x）<img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_01/htm/sxjm1.files/image010.gif"> ,从而到第三年末的总产量为
　　　　　　　　<img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_01/htm/sxjm1.files/image012.gif">

yunjiang · 发表于 2004-7-22 09:38:26

第二步：根据问题的要求和建模目的作出合理的简化假设。
　　本例中，我们设增长率为常数x。我们说这个假设并不合理，因为实际中的增长率通常不会是常数，但在中学阶段，这个假设就是合理的。换句话说，假设的合理性与研究者所使用的工具和研究范围有关。
　　第三步：根据问题分析与假设，利用相应的物理的或其它有关规律建立起现实对象的数学表达式——建立数学模型：
　　本例经整理后的数学模型是
　　　　　　　　　　　<img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_01/htm/sxjm1.files/image013.gif">
　　 第四步：使用相应的数学方法求解数学模型以给出现实对象的数学解决——模型求解
　　本例使用一元二次方程的因式分解法（或公式法）解得　　
　　　　　　　　　　　　　　<img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_01/htm/sxjm1.files/image014.gif">
　　第五步：对模型的解给予检验和解释—模型分析（包括检验、修改、应用和评价等
　　本例中， <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_01/htm/sxjm1.files/image015.gif"> 不合实际而舍去， <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_01/htm/sxjm1.files/image017.gif"> 合乎实际而保留，于是现实对象所提问题获得解决。
　　 注意，若所得两解均不符合实际，则所建数学模型有错误，应推倒重建。这是数学建模完全可能出现的情况，其产生原因往往是问题分析错误或假设不合理所至。
　　综上分析，我们可以给出数学模型与数学建模较为严格的一个定义: 对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据对象特有的内在规律，在做出问题分析和一些必要、合理的简化假设后，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构就称为该特定对象的数学模型。依据上述几个基本步骤建立数学模型这个全过程便称为数学建模。为方便，数学模型和建立数学模型常简称为模型和建模。

yunjiang · 发表于 2004-7-22 09:39:23

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>2．数学建模基本过程和基本步骤
　　上一段，我们已经给出或者更确切地说向大家推荐了一个数学建模的基本流程，即“问题分析 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_01/htm/sxjm1.files/image019.gif"> 合理的简化假设 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_01/htm/sxjm1.files/image020.gif"> 建立模型 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_01/htm/sxjm1.files/image021.gif"> 求解模型 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_01/htm/sxjm1.files/image022.gif"> 对模型解的分析、检验、修改与推广。用框图描述<a href="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_01/htm/05.htm#" target="_blank" >如图1—1</A>。
　　当我们面临新的建模问题时，这个流程是极具指导意义的。应当注意的是，这个流程的目的是指导我们更好地进行建模实践，其应用是可以有弹性的，切勿生搬硬套。也就是说，不是每个建模问题都要一个不差地经过这五个步骤，其顺序也不是一成不变的。一个具体建模问题要经过哪些步骤并没有一定的模式，通常与实际问题的性质、建模的目的等有关。后面我们将结合实例对上述这个流程的各个步骤详加说明。
　　3．数学模型的特点
　　在学习后续的建模实例时务请注意以下特点：
　　（1）数学建模不一定有唯一正确的答案。
　　这一点很要紧。事实上，一个实际问题拿来后，不同的人，不同的建模目的，不同的建模方法，不同的时间场合，不同的分析假设都可能导致完全不同的结果。因此，数学建模的结果无所谓“对”与“错”，但却有优与劣的区别，评价一个模型优劣的唯一标准是实践检验。
　　（2）数学建模没有统一的方法。
　　对同一个问题，各人因其特长和偏好等方面的差别，所采取的方法可以不同。使用近代数学方法建立的模型不一定就比采用初等数学方法建立的模型好，因为我们建模的目的是为了解决实际问题。<

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><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_01/images/1.gif">

yunjiang · 发表于 2004-7-22 09:39:49

<TABLE height=357 cellSpacing=0 cellPadding=0 width=476 align=center border=0><TR vAlign=top align=left><TD colSpan=2 height=339>　　（3）模型的逼真性与可行性。
　　尽管人们总是希望模型尽可能逼近研究对象，但是一个非常逼真的模型在数学上通常是难于处理的，因而达不到通过建模解决实际问题的目的，即实用上不可行。因此，在建模时不必追求模型的完美无缺而只要符合实际问题的基本要求即可。
　　（4）模型的渐进性。
　　稍复杂一些的实际问题的建模通常不可能一次成功，往往要反复几次建模过程，包括由简到繁，也包括由繁到简，以期获得越来越满意的模型，这也符合人们认识问题的规律性。
　　（5）模型的可转移性。
　　模型是对现实对象进行抽象化和理想化的产物，常常不为对象的所属领域所独有，完全可能转移到另外的领域中去。充分利用之会取得意外的收获，这个特点也是使用类比法建模的基础。 </TD></TR></TABLE>

yunjiang · 发表于 2004-7-22 09:40:13

4．数学建模常用方法和原理
　　常用的建模方法有机理分析法、测试分析法等。一般地，若问题的内部机理比较清楚和容易识别，则常用机理分析法，用这种方法建立的模型常有明确的物理的或现实的意义。若研究对象的内部机理基本不掌握，也无法直接寻求，是所谓黑箱系统且模型也不是用于分析内部特性，譬如仅用来作输出预报，则常用测试分析法。将两种方法结合起来也是常用的建模方法。
　　本课程将重点放在机理分析法上。在将机理分析法具体运用于建模时常常还要借助于一些带有规律性的方法与原理，为此，我们再简述几个常用的原理与技巧，主要有
　　（1）利用各种定律建模。如物理定律，化学定律，经济学定律，医学定律，数学本身的各种定律等。
　　（2）利用平衡原理建模。所谓平衡原理是指自然界的任何物质在其变化的过程中一定受到某种平衡关系的支配。注意发掘实际问题中的平衡原理是从物质运动机理的角度组建数学模型的一个关键问题。就象中学的数学应用题中等量关系的发现是建立方程的关键一样。
　　（3）利用类比方法建模。类比法是建立数学模型的一个常见而有力的方法。作法是把问题归结或转化为我们熟知的模型上去给以类似的解决：这个问题与我们熟悉的什么问题类似?如果有类似的问题曾被解决过，我们的建模工作便可省去许多麻烦。实际上，许多来自不同领域的问题在数学模型上看确实具有相类似的甚至相同的结构。
　　（4）利用几何图示法建模。有不少实际问题的解决只要从几何上给予解释和说明就足以了，这时，我们只需建立其图模型即可。这种方法既简单又直观，且其应用面很宽。
　　值得说明的是，这些方法或原理在应用中也没有严格界线，而往往是交织在一起使用。

yunjiang · 发表于 2004-7-22 11:00:44

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>这二十八讲的数学建模教程是从电大视频教学那里复制过来的，希望对大家有帮助！

hanbi · 发表于 2004-7-22 19:06:36

谢谢！！！

zzgmars · 发表于 2004-7-23 20:20:17

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>[em07][em07][em07]<

>谢谢！！

duanshumo · 发表于 2004-7-24 00:43:02

谢谢你的帖子

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第一讲 建模方法论——序论与建模方法概论

第一讲建模方法论——序论与建模方法概论