正方形椅子

hanbi

<>当一张正方形椅子在连续变化的地面上只有三只脚同时着地时，能否通过适当的挪动使四只脚同时着地。<p></p></P>
<>
<><B ></B><B ><p></p></B></P><B >    </B>假设以椅子中心为原点O，对角线AC与x轴夹角θ表示椅子的位置，f（θ）为A、C两脚与地面距离之和，g（θ）为B、D两脚与地面距离之和。由于θ的连续变化，可记h（θ）＝f（θ）－g（θ）为θ的连续函数。考虑θ从0到90度，对角线AC与BD互换，不妨假设f（0）＝0，则g（0）&gt;0，设f（90）&gt;0，g（90）＝0,从而h（0）&lt;0，h（90）&gt;0。由介值定理，有θ<v:shapetype> 0<v:stroke joinstyle="miter"></v:stroke><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"></v:f><v:f eqn="sum @0 1 0"></v:f><v:f eqn="sum 0 0 @1"></v:f><v:f eqn="prod @2 1 2"></v:f><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"></v:f><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"></v:f><v:f eqn="sum @0 0 1"></v:f><v:f eqn="prod @6 1 2"></v:f><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"></v:f><v:f eqn="sum @8 21600 0"></v:f><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"></v:f><v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f></v:formulas><v:path connecttype="rect" gradientshapeok="t" extrusionok="f"></v:path><lock aspectratio="t" v:ext="edit"></lock></v:shapetype><v:shape><v:imagedata></v:imagedata></v:shape>（0,90），使f（θ0）＝g（θ0），又对<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>θ，f（θ）×g（θ）＝0，且f（θ）、g（θ）至少一个为0，故f（θ0）＝g（θ0）＝0，即转动θ<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>角度后椅子四只脚同时着地了。<p></p></P>
<P><B ></B><B ><p></p></B> </P>
<P><B >大家思考一下，对四只脚为长方形的椅子，结论是否成立？</B><B ><p></p></B></P>

delicatepage

<>你是来炫耀的吗？！干嘛拿这么简单的东西呢，任何一个玩数模的，开始没多久都该想过这个问题吧</P><>在0——180度之间旋转肯定也能找到一个稳定点</P>

yunjiang

<>（方桌问题）日常生活中经常碰到这样的事情：把方桌置于地面上时，常常是只有三只脚着地而放不稳，通常需要调整几次方可将方桌放稳，试用数学语言对此问题给以表述，并用数学工具给予说明：方桌能否在地面上放稳?若能，请给予证明并给出做法，否则说明理由。
　　我们来看看这个似乎与数学毫无关系的实际问题怎样一步步转化为数学问题，并用数学工具给以证明的。
　　<B>问题分析</B>
　　所谓方桌能否在地面放稳是指方桌的四个脚能否同时着地，而四个桌脚是否同时着地是指四个桌脚与地面的距离是否同时为零。于是我们可以转而研究四个桌脚与地面的距离是否同时等于零。这个距离显然是变化的，于是可视为函数，那么作为函数，它随哪个量的改变而改变？ 构造这个距离函数成为主要建模目的。
　　为了构造函数和设定相关参数，让我们实际操作一下，从中搜集信息，弄清其特征（这也是建模中常用的策略）。要想四个桌脚同时着地，通常有两种方法，其一是将方桌搬离原地，换个位置试验，另一个做法是在原地进行旋转试验。前法需要研究的范围可能要很大，这里采取第二种做法（请读者一定做一下：沿逆时针或顺时针慢慢旋转几个小角度即可）。易得出结论：<B>只要地面相对平坦，没有地面大起大落情况，</B>那么随着旋转角度的不同，三只脚同时落地后，第四只脚与地面距离也不同而逐渐归于落地。注意，旋转中总有两个脚同时着地，而另两个脚不稳定。也就是说，这个距离与旋转角度有关，是旋转角度的函数，于是一个确定的函数关系找到了。不仅如此，我们的问题也顺其自然地转化为：是否存在一角度，使得四个距离函数同时为零?
　　 综上分析，问题可以归结为证明函数的零点的存在性，遂决定试用函数模型予以处理。
　　 请注意上述内容中的黑体字，它实际上蕴涵了使方桌放稳的一些前提条件，而这些往往是下一步我们要做出的假设的部分内容。就此，我们来给出本问题的模型假设如下：</P><> <B>模型假设</B>
　　 1．桌子的四条腿同长（这个假设显然合理，而且避免了问题与桌腿长度有关使问题变复杂，但在问题分析中没有注意到）。
　　 2．将方桌的桌脚与地面接触处看成是一个几何点，四脚连线为正方形（这是因为问题本身考虑的是能否四脚着地而与桌腿样式、粗细、质地等无关。象这样将问题抽象化，将易于在数学上进行处理）。
　　 3．地面相对平坦，即在旋转所在地面范围内，方桌在任何位置至少有三只脚同时着地（自然这是符合实际的合理假设，也是我们在问题分析中注意到了的）。
　　4．地面高度连续变化，即可视地面为数学上的连续曲面（这样，所设的高度函数便成为角度的连续函数）。
　　在上述假设之下，我们所设的高度函数是定义在角度区间[0，2<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_02/htm/sxjm2.files/image002.gif"> </SUB>]上的连续函数。若设角度为<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_02/htm/sxjm2.files/image004.gif"> </SUB>，则可写高度函数为<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_02/htm/sxjm2.files/image006.gif"> </SUB>。至于其模型建立就不在话下了。</P><>方桌问题数学模型的求解。
　　依假设条件，四个桌脚连线呈正方形，因而以其中心为对称点，令正方形绕中心旋转便表示了方桌位置改变，于是可以用旋转角度的变化表达桌子的不同位置。为了确定起见，我们以这个正方形中心为原点建立平面直角坐标系，并假设旋转开始时（角度<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image006.gif"> </SUB>），四个桌脚点<I>A</I><I>、</I><I>B</I><I>、</I><I>C</I><I>、</I><I>D</I>中<I>A</I><I>、</I><I>C</I>位于<I>x</I>轴上，则<I>B</I><I>、</I><I>D</I>位于<I>y</I>轴上。旋转角度<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image008.gif"> </SUB>后，点<I>A</I><I>、</I><I>B</I><I>、</I><I>C</I><I>、</I><I>D</I>变到点<I>A’</I><I>、</I><I>B’</I><I>、</I><I>C’<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image009.gif"> </SUB></I><I>、</I><I>D’</I>（图1—5）<I>，</I>显然，随着<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image010.gif"> </SUB>的改变，方桌的位置也跟着改变，从而桌脚与地面距离也随之改变。注意到试验结果，尽管方桌有四只脚，因而有四个距离，但对于每个角度，总有点<I>A</I><I>、</I><I>C</I>同时着地而<I>B</I><I>、</I><I>D</I>点不同时着地或<I>B</I><I>、</I><I>D</I>点同时着地，而<I>A</I><I>、</I><I>C</I>点不同时着地，故只要设两个距离函数即可。
　　　　　　　　　　 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/images/01.gif">
　　　　　　　　　　　　　　　图1—5 </P><P>　　设<I>A</I><I>、</I><I>C</I>两脚与地面距离之和为<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image012.gif"> </SUB>，<I>B</I><I>、</I><I>D</I>两脚与地面距离之和为<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image014.gif"> </SUB>，且作为距离函数的<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image015.gif"> </SUB><SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image017.gif"> </SUB>均为非负函数。由假设4，<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image018.gif"> </SUB>与<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image020.gif"> </SUB>均为连续函数。而由假设3，对任一角度<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image021.gif"> </SUB>，恒有<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image022.gif"> </SUB>=0而<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image024.gif"> </SUB>或<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image026.gif"> </SUB>而<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image028.gif"> </SUB>，即对<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image030.gif"> </SUB>又为证明存在角度<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image032.gif"> </SUB>，使<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image034.gif"> </SUB>=0,<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image036.gif"> </SUB>=0同时成立，还需要条件支持。注意到在初始位置<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image038.gif"> </SUB>，或<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image040.gif"> </SUB>=0,<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image042.gif"> </SUB><SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image044.gif"> </SUB>0或<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image046.gif"> </SUB><SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image047.gif"> </SUB>0，<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image049.gif"> </SUB>=0，而旋转90&ordm;后，两组条件恰好交换。如此，方桌通过旋转改变位置能放稳的证明，便归结为证明如下的数学命题：
　　已知<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image050.gif"> </SUB><SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image051.gif"> </SUB>是<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image052.gif"> </SUB>的连续函数，对任意<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image053.gif"> </SUB>，<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image055.gif"> </SUB>且<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image057.gif"> </SUB>时<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image059.gif"> </SUB>。
　　求证：存在<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image061.gif"> </SUB>，使<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image062.gif"> </SUB>=<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image063.gif"> </SUB>=0。
　　这就是方桌问题的数学模型。易见只需引进一个变量<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image064.gif"> </SUB>及其一元函数<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image065.gif"> </SUB><SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_04/htm/sxjm4.files/image066.gif"> </SUB>，便把模型条件和结论用简单又精确的数学语言表述出来。从而形成所需要的数学模型。
　　<b>模型的求解</b>
　　就本例来说，容易看出本模型属于一元连续函数的零点存在性问题，使用介值定理便可轻松证明它，这里从略。</P>

hanbi

<>我就是新学的呀，我笨不行阿，好像是2楼的你在炫耀阿！！！</P><>感谢3楼的，不过最重要的问题还没解决阿！</P><><b>对四只脚为长方形的椅子，结论是否成立？</b></P>

leighton454

<>将上位大虾的90度改为１８０即可</P>[em05]

Hans8

呵呵~ 刚接触时候都会碰到这个题。

hanbi

改成180度吗？谢了

yizhen0315

发这个干吗?不知道这个题的还来这儿干吗啊!!!