完全数之迷

Newton1983

完全数之迷之一：最初的4个完全数
正如毕达哥拉斯及其学派所认为的那样，数本身就是美的。数学的
整个领域都是及其浪漫的，无处不充满了高维度的纯美。而完全数
就是这美的代表(有没有人反对？)

完全数(perfect number),又称完美数，完满数，指的是具有如下
特性的数：即该数所有真约数(除了该数本身之外的约数)之和为
该数本身。多么简单的特性，只需一行字便可以表述。然而在简洁
的背后，却有着丰富的内涵与无穷的吸引力。(事实上，就如同费
马大定理一样，简洁的表述与困难的解法正是衡量一个数学问题
魅力的标准。)

举例来说：6＝1＋2＋3， 28＝1＋2＋4＋7＋14。如果你有兴趣，
可以验证496与8,128是接下来的两个次小的完全数。古希腊人就知道
这么多，虽然他们为没能看到一个奇数完全数而遗憾。

不过，富于想象力的希腊人还是从这几个数中看到了一些有趣的东西
。比如它们分别为1位，2，3，4位数，而且尾数是6或8, 交替出现。
于是他们推测（美丽的起步): 第n个完全数将是n位数，而且尾数是
6或8，并江交替出现。

个人而言，我对古希腊人充满了景仰。爱琴海湛蓝的海水竟能孕育出
苏，柏，亚等照耀全世界文明的哲人，与旷世唯一的欧几里德，和
那许多动人的人神传说。我曾不止一次地幻想头顶一个水罐，象个
奴隶(文明的奴隶)般地倘佯在雅典的街头...

扯远了，不过下次，我们将看到希腊人的猜测究竟是否正确。

Newton1983

完全数之迷之二:古希腊人的猜测
上回书说到古希腊人对完全数的两个猜测，而且表面上颇有令人心动
的号召力，但遗憾的是，随着人们发现了更多的完全数，这两个猜测
也不攻自破了。

第五个完全数是33，550，336，是个8位数(而不是5位)。接下去
的三个完全数分别为：8,589,869,056(10); 137,438,691,328(12);
2,305,843,008,139,952,128(19). 可以看到，完全数的位数在迅速
增多，希腊人的猜测显然偏离了方向。事实上，第30个完全数赫然
是个13万位的庞然大物。

而假设之二也不成立，因为第5，6个完全数的尾数都是6，并非以
6，8交替出现。但是，虽然时至今日，科学家们已经知道了30个
完全数，其尾数仍然没能突破6或8的模式。这一次，古希腊人猜对
了吗？谁知道呢？

Newton1983

完全数之迷之三:欧几里得的公式
提到完全数，就不能不说说欧几里得和他在这个领域的天才闪现。

当时，古希腊人只知道4个完全数，当伟大的欧几里得竟从中看到了
这样一个公式：2^(n-1)*(2^n-1),当n分别取2，3，5，7时，该公式
就分别得出了6，28，496和8128 ---- 前4个完全数！(赞美欧几里得
吧，他无愧于一切的赞美！)

更仔细地审视这个公式，我们会发现更多有趣的东西：当以这个公式
得出前4个完全数的时候，n为2，3，5，7，全是素数！不奇怪吗？
而事实上，此时的2^n-1也分别取3，7，31，127，也竟然全为素数!
偶然的背后，是否隐藏着某些本质的东西呢？

记得在大约两个月前的一篇文章里，我曾经给出过一个证明，既
2^n-1为素数的必要条件是n为素数。(不好意思，不是我证的。)但
n为素数并非充分条件。举例来说：当n=11时, 2^n-1=2047=23*89.

而欧几里得则证明了，一旦2^n-1为素数，该公式将导出一个完全数
。在那2000年后的18世纪，一位瑞士的数学家尤勒更进一步地证明了
该公式将给出全部的偶数完全数！

非常令人振奋的结果吧！但人们继而有两个问题要问。其一，偶数
完全数是否是无穷的？2^n-1为素数的条件是什么？其二，是否存在
奇数完全数？

虽然江山代有才人出，但遗憾的是，这两个问题仍悬而未决。在
接下来的篇章里，我将分别论述这两大谜团。

Newton1983

完全数之迷之四:奇数完全数
花开两朵，各表一枝。这回先讲讲奇数完全数的故事。(因为关于
奇数完全数的资料只搞到一点，一次灌完算了)

简单地讲，奇数完全数之所以吸引人，只是因为至今人民还不曾找到
一个。 然而就如同夸克的故事一样，至今也没有一个人敢壮着胆子
说一声：“这玩意儿根本就不存在！”

欧几里德给出了能导出所有偶数完全数的公式(虽然他还没来得及
指明在何种条件下，该公式必能导出一个偶数完全数)。不过人们
一直还没有求得一个奇数完全数。敏感好奇的科学家们孜孜以求，
所得也只不过是一些周边的限制条件(不过这些限制条件看起来很
令人吃惊)。

总地来说，如果确实存在奇数完全数的话，它至少要满足以下条件：
1。至少能被8个素数整除，其中最大的一个应大于300,000。次大的
也要大于1,000.
2。若它不能被3整除，它至少应被11个素数整除。
3。它是12k+1的形式。
4。它是36k+9的形式。

另外还有人借助计算机证明了，在10^50之下不存在奇数完全数。而
据说这个下限正渐渐地被往上推。记得几个月前，我似乎在哪儿又
看到了有关的最新消息，可惜，我忘记了。

恐怕有人不禁要问一声:"老兄，到底奇数完全数存不存在？" 问地
好！但这就是游戏规则。你不能证明他对，并不意味着你能说他错。

当你忘不了一个人的时候，爱上他吧！
当你找不到奇数完全数的时候，忘了他吧！

Newton1983

完全数之迷之五：梅森素数
在初等数论领域里，曾有许多才智出群的业余数学天才活跃一时(现在的数学越来越
专门艰深，我作一个业余数学家的梦想也终遭幻灭).费马，梅森，etc. 今天要讲的
梅森，就同完全数有着千丝万缕的联系。


梅森，17世纪时的一位法国神职人员，把所有的业余时间都用在了对数学的钻研上，
并因在所谓的梅森素数上的成而载名史册。所谓的梅森素数，就是指形如2^n-1的
素数. 读过前文的虫虫一定会眼前一亮：咦? 这不是欧几里德公式里的关键部分吗!
不错，根据欧几里德的公式，每求得一个梅森素数，就自动会得到一个偶数完全数。


梅森在1644年说，2^13-1,2^17-1和2^19-1这三个梅森数都是素数，他还断言，
2^67-1也是素数！在接下来的250年里，没有人敢对这一大胆的声言提出疑问(他们
没有计算机!)

(以下全文摘抄于<<阿基米德的报复>>一书)

1903年，在美国数学协会的一次会议上，哥伦比亚大学教授科尔提交了一篇慎重
的论文，题目为：论大数的分解因子。数学史家贝尔记下了这一时刻所发生的事:"
一向沉默寡言的科尔走上台去，不言不语地开始在黑板上计算2^67.然后小心地
减去1，得到一个21位的庞然大物：147,573,952,589,676,412,927. 他仍一语不发
地移道黑板上的空白处，一步步作起了乘法运算:193,707,721*761,838,257,287.

两次计算结果相同。梅森的猜想--假如确曾如此的话--就此消失在数学神话的废物
堆里了。据记载，这是第一次也是唯一的一次，美国数学协会的一位听众在宣读
论文之前向其作者热烈欢呼。科尔一声不吱在他座位上坐下，没有人向7他提任何
问题."


一年前看完这段文字的感觉仍清晰如昨，就仿佛楚留香击败石观音一般得爽快，
特摘抄出来以飨读者。

huaguoxiang

<>相同的感受！数学是天堂</P><>数论是天堂的天堂</P>

zwx123

数学不愧是自然科学的老大!