求助：梯子长度问题

lihuan-200

2. 梯子长度问题
一楼房的后面是一个很大的花园. 在花园中
紧靠着楼房有一个温室,温室伸入花园2m,高3m,
温室正上方是楼房的窗台. 清洁工打扫窗台周围,
他得用梯子越过温室,一头放在花园中,一头
    靠在楼房的墙上. 因为温室是不能承受
     a     梯子压力的,所以梯子太短是不行的.
           现清洁工只有一架7m长的梯子,
     b        你认为它能达到要求吗? 能
                 满足要求的梯子的最小
                         长度为多少?
本人刚刚学，有会的请帮帮忙！！！

丘子彬

好像是一元函数极值的问题吧
设温室的宽为a，高为b，梯子与地面的夹角为x。
则梯子长度L(x)=a/cosx+b/sinx
要求L的极值，令它的一阶导数为0，即：L'(x)＝0
解得：x＝arctan（b/a的1/3次方）
代入L(x)即可得梯子得最小长度。

根据这个算出来的结果好像是Lmin(x)=7.0235m

[ 本帖最后由 丘子彬 于 2007-8-12 11:31 编辑 ]

lihuan-200

梯子是不能承受压力的，你怎么没有考虑这一点呢？这点好象才是问题的关键。

丘子彬

梯子不能承受压力？那还了得，人岂不是都不能站在梯子上了？是温室不能承受梯子的压力吧？
这个是极限值的问题，现在是这个极限值都超过7m，要是再加上那些限制条件，7米长的梯子就显得无能为力了，所以7米的梯子可能就不符合要求了
这样说，对吗？

[ 本帖最后由 丘子彬 于 2007-8-14 21:26 编辑 ]

lihuan-200

不好意思，写错了，是温室不受力，但是我还是不怎么明白你说的，能说的具体点吗？

丘子彬

先不要理会梯子不能跟温室接触的这个条件。
假如梯子和温室有接触的话，梯子的两端要分别靠到地板上和墙壁上也需要一个最短的长度。我们现在就是求出这个最短的长度。求出了这个长度，那就是一个最极限的状态，（即是说：如果梯子没有跟温室接触，那梯子所需要的长度就会比这个长度更长）。
求出来的结果便是：这个极限值都已经超过了7米。

现在回来考虑限制条件，梯子不可以跟温室接触，那么，梯子的长度就得比算出来的结果更大。

所以，那7米的梯子就显得不合格了

丘子彬

严格说来也算是一种缩放吧

就像是你要求一个数必须大于8，可以先判别它是否大于7（为了好解决问题，把条件放宽了，极限、不等式的上下限好像都常用这种缩放[高中时学不等式证明经常都是这样的]）。现在是连让它大于7都还不能成立，那还有可能大于8吗？

一样的道理，差不多明白了吧？

丘子彬

数学建模的过程中一般都是先简化限制条件，求出粗略的模型，然后一步一步的加上那些限制条件，不断的逼近题设条件。

就像是生产零件一样，总是先把零件的大概构造出来（工件毛胚），然后再经过多重的精加工，才能成为产品。

也是一样的道理吧