2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题评阅要点

jessica11 · 发表于 2006-11-24 16:55:04

<h2 class="diaryTitle">2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题评阅要点</h2>                                       <p class="MsoNormal" style="MARGIN: 7.8pt 0cm 0pt 17.6pt; TEXT-INDENT: -17.6pt; mso-char-indent-count: -1.46; mso-para-margin-left: 17.6pt; mso-para-margin-top: .5gd; mso-para-margin-right: 0cm; mso-para-margin-bottom: .0001pt;">问题（1）
利用附件1的数据预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间。
<p class="MsoNormal" style="MARGIN: 7.8pt 0cm 0pt 18pt; TEXT-INDENT: -18pt; mso-list: l1 level1 lfo1; mso-para-margin-left: 18.0pt; tab-stops: list 18.0pt; mso-para-margin-top: .5gd; mso-para-margin-right: 0cm; mso-para-margin-bottom: .0001pt;">1．分析数据  随机取若干个病人，画出他们CD4和HIV浓度随时间变化的图形（折线），可以看出CD4大致有先增后减的趋势，HIV有先减后增的趋势，启示应建立时间的二次函数模型（若先用一次函数模型，应与二次函数模型做统计分析比较）。附件1中个别病人缺CD4或HIV数据（数据表中为空），计算时应注意。
<p class="MsoNormal" style="MARGIN: 7.8pt 0cm 0pt 18pt; TEXT-INDENT: -18pt; mso-list: l1 level1 lfo1; mso-para-margin-left: 18.0pt; tab-stops: list 18.0pt; mso-para-margin-top: .5gd; mso-para-margin-right: 0cm; mso-para-margin-bottom: .0001pt;">2．建立模型  可能有以下形式的回归模型：
1）
总体回归模型  用全部数据拟合一个模型，如yij=b0+b1tij+b2tij2，tij为第i病人第j次测量时间，yij为第i病人第j次测量值（CD4，HIV）或测量值与初始值之比。一次与二次函数模型比较，二次较优。用数据估计b0,b1,b2, 对CD4，b2<0, b1>0, t=-b1/2b2
达到最大；对HIV，b2>0,b1<0, t=-b1/2b2
达到最小。一般在25~30（周）CD4达到最大、HIV达到最小。可以合理地确定最佳治疗终止时间。
2) 个人回归模型  用每个病人的数据拟合一个模型，如上式（bk改为bik, k=0,1,2），
计算bik的均值和均方差，用均值同1）可得CD4的最大点和HIV的最小点，一般为20~30（周）。可对CD4统计b2i<0, b1i>0（存在正最大点）及b2i>0（不存在最大点）的频率，对HIV统计b2i>0, b1i<0（存在正最小点）及b2i<0（不存在最小点）的频率，在一定条件下可以作为终止治疗与继续治疗的概率（一般为0.6~0.8与0.3~0.2）；也可用bik的均值和均方差在一定分布的假定下直接计算这些概率。

jessica11 · 发表于 2006-11-24 16:55:57

3）分段时序模型  对yij用j以前的资料如yi，j-1, tij-ti，j-1，j-1段的斜率等为变量建立模型（j=3,4,5,6），由数据估计系数，预测yij，然后对CD4统计预测的yij大于实际的yi，j-1的频率，对HIV统计预测的yij小于实际的yi，j-1的频率，由此得到应终止治疗的时段。4）纵向数据回归模型（处理这类问题的专门方法）  将模型2）的bik分解为固定效应参数bk,与随机效应参数bik之和（k=0,1,2），设bik服从零均值正态分布，利用极大似然估计可以得到bk的估计值及bik的方差。bk的估计值用于计算CD4的最大点和HIV的最小点，它与bik的方差一起可以像2）一样在正态分布假定下计算终止治疗与继续治疗的概率。

jessica11 · 发表于 2006-11-24 16:56:27

注1
建立几种模型相互比较、验证者较优。
注2        不能只有模型，不做统计分析；对模型结果进行统计分析，考虑与数据拟合程度、注意去除异常数据者较优。
注3        注意到有一些数据是当出现CD4下降、HIV上升就及时结束的，并做出适当考虑者较优。
注4        注意到题目中“艾滋病治疗的目的，是尽量减少人体内HIV的数量，同时产生更多的CD4，至少要有效地降低CD4减少的速度”，并对结果做出适当考虑者较优。

jessica11 · 发表于 2006-11-24 16:58:24

问题（2）利用附件2的数据，评价4种疗法的优劣，并对较好疗法预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间。 回归模型方法 1．分析数据  对于每种疗法随机取若干个病人，画出他们CD4随时间变化的图形（折线），可以看出疗法1~3的CD4基本上水平，略有下降，而疗法4有先增后减的趋势。启示应建立时间的一次与二次函数模型，经统计分析比较，确定哪种较优。 2．建立模型  1）回归模型  可以引入4（或3）个0-1变量表示4种疗法建立统一模型，或者对每种疗法各建立一个模型（一般来说前者较优）；仍可利用问题（1）中的各种模型。以总体回归模型为例，分别用一次与二次时间函数模型进行比较，可知疗法1~3用一次模型较优，且一次项系数为负，即CD4在减少，从数值看疗法3优于疗法2和1；疗法4用二次模型较优，即CD4先增后减，在t=20左右达到最大。可以通过4条回归曲线进行比较，显示疗法4在30周之前明显优于其它。 年龄的处理：简单地增加年龄变量；按年龄分组，考虑不同年龄的影响。 2）用假设检验做疗法有无显著性差异的两两比较  用1个0-1变量构造两种疗法的统一模型，可以用t检验作回归系数是否为零的假设检验（与回归系数置信区间是否含零点等价）。结果是疗法1与2无显著性差异，而疗法1与3，2与3，3与4均有显著性差异。 注  注意问题（1）的几个注。 线性规划模型方法 1．数据分析  考虑到治疗的效果与患者的年龄有关，将患者按年龄分组，如14~25岁,25~35岁,35~45岁及45岁以上4组。每组中按照4种疗法和4个治疗阶段（如0~10周，10~20周，20~30周，30~40周），构造16个决策单元。取4种药品量为输入，治疗各个阶段末患者的CD4值与开始治疗时CD4值的比值为输出。 2.  建立模型  利用相对有效性评价方法，建立分式规划模型并经过变换，转化为线性规划模型求解，对各年龄组患者在各阶段的治疗效率进行评价。计算结果：对第1年龄组疗法2和4在整个治疗中效率较高，在第4阶段仍然有效；对第2年龄组疗法1在第1，2阶段有效；对第3年龄组疗法1，2，3在第1阶段有效；对第4年龄组疗法1，2在第1，2阶段有效。表明只有14~25岁的年4种轻患者，才能在治疗的最后阶段仍然有有效的疗法。 由线性规划模型的对偶形式建立预测模型，对各年龄组各种疗法下一阶段的疗效进行预测。若由某决策单元得到的实际输出大于预测输出，则该决策单元相对有效；反之，说明该种疗法对该组患者在治疗的未来阶段不再有效，应该转换疗法。 问题（3）如果病人需要考虑4种疗法的成本，对（2）中的评价和预测（或者提前终止）有什么改变。     根据提供的价格疗法1~4每天的费用分别为：1.60（取最大）, 3.45, 2.45, 3.65，显然若经济允许应采用疗法4，否则可设定包含疗效和费用的决策函数，进行决策。考虑费用的线性规划模型        将问题（2）中的输入改为4种疗法的费用，计算结果是疗法2的效率大大降低，而疗法4对第1年龄组仍然是最有效的；疗法1对其它年龄组有效且费用低。 可以类似地建立预测模型，并进行预测。

宫俊 · 发表于 2007-1-23 01:58:34

和我们想的差不多～不过我们就是一直弄出点来拟合～拟合到死为止～哈哈～

		自动登录	找回密码
密码			注-册-帐-号