第二十七讲 概率统计模型（3）——排队论模型
排队是们在日常生活中经常遇到的现象，如顾客到商店买东西，病人到医院看病，人们上下汽车，故障机器停机待修等常常都要排队.排队的人或事物统称为顾客，为顾客服务的人或事物叫做服务机构(服务员或服务台等).顾客排队要求服务的过程或现象称为排队系统或服务系统.由于顾客到来的时刻与进行服务的时间一般来说都是随机的，所以服务系统又称随机服务系统.由于排队模型较为复杂，这里仅对其中最简单的模型—M/M/1排队模型给予说明.先简单介绍这个模型的有关概念和结论。M/M/1是指这个排队系统中的顾客是按参数为<SUB> <IMG src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_27/htm/sxjm27.files/image002.gif"> </SUB>的泊松分布规律到达系统，服务时间服从参数为<SUB> <IMG src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_27/htm/sxjm27.files/image004.gif"> </SUB>的指数分布，服务机构为单服务台（所谓单窗口）。由此我们不加证明地指出其几个重要的指标值如下：<P></P>
顾客平均到达率为<SUB> <IMG src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_27/htm/sxjm27.files/image006.gif"> </SUB>为平均到达间隔，平均服务率<SUB> <IMG src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_27/htm/sxjm27.files/image008.gif"> </SUB>为平均服务时间；顾客等待时间<SUB> <IMG src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_27/htm/sxjm27.files/image010.gif"> </SUB>服从参数为<SUB> <IMG src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_27/htm/sxjm27.files/image012.gif"> </SUB>的指数分布，即<B> </B><B><P></P>
</B><B><SUB> <IMG src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_27/htm/sxjm27.files/image014.gif"> </SUB>。<P></P></B> 如何吸引更多的顾客以获取更高的利润是每一位快餐店老板最关心的问题.除了增加花色、提高品味、保证营养、降低成本之外，快餐店应在其基本特点“快”字上下功夫.有人向老板建议，公开向顾客宣布：如果让哪位顾客等待超过一定时间(譬如3分钟)，那么他可以免费享用所订的饭菜，提建议者认为这必将招揽更多的顾客，由此带来的利润一定大于免费奉送造成的损失.但是老板希望对于利弊有一个定量的分析.告诉他在什么条件下作这种承诺才不会亏本，更进一步，他希望知道应该具体地作几分钟的承诺，利润能增加多少。本讲要建立一个随机服务模型，给出解决这个问题的一种方法。
假定顾客进入快餐店后的服务过程是这样的：首先他在订餐处订餐，服务员将订单立即送往厨房，同时收款、开收据，收据上标明订餐的时刻，这个时刻就是这位顾客等待时间的起始时刻 .接着，服务在厨房进行，厨房只有一位厨师，按订单到达的顺序配餐，配好一份立即送往取餐处 .最后，服务员将饭菜交给顾客，并核对收据，若发现顾客等待时间超过店方的承诺，则将所收款项如数退还。
这个问题建模的关键有二：一是对顾客到达、服务时间、排队规则等作什么样的假设；二是当宣布“服务慢了将免费供餐”以后，承诺的时间与顾客的增多之间的关系应该用什么规律描述.对于前者，<I>M/M</I>/1模型是一个合理的、简化的选择；对于后者，我们将在直观分析的基础上用最简单的定量关系表示出来。 <b>模型假设</b><P></P>
1．顾客在快餐店的服务服从<I>M/M</I>/1模型；顾客平均到达率为<I>λ</I>=1/<I>c,c</I>为平均到达间隔，在未宣布承诺时<I>c</I>=c<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_27/htm/sxjm27.files/image016.gif"> </SUB>；快餐店平均服务率<I>μ</I>=1/<I>d,d</I>为平均服务时间；<I>d</I><I>＜</I><I>c</I>.<P></P>
2．店方承诺等待时间超过<I>u</I>的顾客免费享用订餐，<I>u</I>越小则顾客越多，<I>c</I>越小，在一定范围内设<I>c</I>与<I>u</I>成正比，同时又存在<I>u</I>的最大值<I>u<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_27/htm/sxjm27.files/image017.gif"> </SUB></I>，当<I>u</I>≥<I>u<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_27/htm/sxjm27.files/image019.gif"> </SUB></I>时快餐店的承诺对顾客无吸引力，相当于不作承诺，不妨设此时<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_27/htm/sxjm27.files/image021.gif"> </SUB>。
3．每位顾客的订餐收费为<I>p</I>,成本为<I>q 。</I><P></P><P></P> <b>模型建立</b> <P></P>
首先，根据本讲对<I>M</I>/<I>M</I>/1模型的分析，顾客等待时间(记作随机变量<I>Y</I>)服从参数<I>μ</I><I>-</I><I>λ</I>的指数分布，即<P></P>
<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_27/htm/sxjm27.files/image022.gif"> </SUB> （5.7）<P></P>
对于等待时间为<I>Y</I>的顾客设店方获得的利润为<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_27/htm/sxjm27.files/image024.gif"> </SUB><I>(Y)</I>，则在宣布承诺时间为<I>u</I>的情况下有<P></P>
<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_27/htm/sxjm27.files/image026.gif"> </SUB> <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_27/htm/sxjm27.files/image028.gif"> </SUB> （5.8）<P></P>
利润<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_27/htm/sxjm27.files/image030.gif"> </SUB>的期望值为<P></P>
<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_27/htm/sxjm27.files/image032.gif"> </SUB> （5.9）<P></P>
用（５.7）式代入得<P></P>
<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_27/htm/sxjm27.files/image034.gif"> </SUB> （5.10）<P></P>
因为顾客到达的平均间隔为<I>c</I>，所以单位时间利润的期望值为<P></P>
<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_27/htm/sxjm27.files/image036.gif"> </SUB> （5.11）<P></P>
建模的目的是确定承诺时间<I>u</I>使利润<I>J(u)</I>最大。<P></P> <P> 下面我们根据对于<I>c</I>和<I>u</I>关系的假设确定函数<I>c(u)</I>.因为可以假定<I>c</I>(0)=0(理解为<I>u</I>→０时顾客将无穷多)，当<I>u</I><I>≥</I><I>u<SUB> <IMG src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_27/htm/sxjm27.files/image037.gif"> </SUB></I>时<I>c(u)=c<SUB> <IMG src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_27/htm/sxjm27.files/image038.gif"> </SUB></I>(因为这时相当于不作承诺)，所以若假设在<I>0</I><I>≤</I><I>u</I><I>≤</I><I>u<SUB> <IMG src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_27/htm/sxjm27.files/image040.gif"> </SUB></I>时<I>c</I>与<I>u</I>成正比，函数<I>c(u)</I>的图形就<a href="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_27/htm/05.htm#" target="_blank" ><FONT color=#0000cc>如图５－5</FONT></A>所示
，并且由于<I>d</I>＜c的基本要求,必须u><SUB> <IMG src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_27/htm/sxjm27.files/image042.gif"> </SUB>，于是<I>c(u)</I>可表为
<SUB> <IMG src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_27/htm/sxjm27.files/image044.gif"></SUB> （5.12）
<p>
将(5.12)式代入(5.11)式得
<p><SUB> <IMG src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_27/htm/sxjm27.files/image046.gif"> </SUB> (5.13)
<p>
<p>
<P>
<p> <a href="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_27/htm/05.htm#" target="_blank" ><FONT color=#0000cc>图5-5</FONT></A>
<p><IMG src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_27/htm/sxjm27.files/20.gif">
其中
<p><SUB> <IMG src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_27/htm/sxjm27.files/image050.gif"> </SUB> (5.14)
<p><I> J</I>(<I>u</I>)中除<I>u</I>外均为已知常数，问题化为求<I>u</I>使<I>J</I>(<I>u</I>)最大。
<p>
<p> <P> <b>模型求解</b>
对于(５.13)式的<I>J</I>(<I>u</I>)应按<I>u</I>的不同范围分别求解.当<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_27/htm/sxjm27.files/image052.gif"> </SUB>时，用微分法求出<I>μ</I>的最优值<I>u<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_27/htm/sxjm27.files/image054.gif"> </SUB></I>应满足<P></P>
<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_27/htm/sxjm27.files/image056.gif"> </SUB> (5.15)<P></P>
且算出<I>J</I>的最大值为<P></P>
<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_27/htm/sxjm27.files/image058.gif"> </SUB> (5.16)<P></P>
当<I>u</I>≥<I>u<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_27/htm/sxjm27.files/image060.gif"> </SUB></I>，显然<I>u</I>→∞时<I>J</I>(<I>μ</I>)最大，且<P></P>
<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_27/htm/sxjm27.files/image062.gif"> </SUB> (5.17)<P></P>
比较<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_27/htm/sxjm27.files/image064.gif"> </SUB>和<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_27/htm/sxjm27.files/image066.gif"> </SUB>可知，当且仅当<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_27/htm/sxjm27.files/image068.gif"> </SUB>时<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_27/htm/sxjm27.files/image069.gif"> </SUB>><SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_27/htm/sxjm27.files/image070.gif"> </SUB>，所以<I>J</I>(<I>μ</I>)最大值问题的解应为<P></P>
<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_27/htm/sxjm27.files/image072.gif"> </SUB> (5.18)<P></P>
其中<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_27/htm/sxjm27.files/image074.gif"> </SUB>由(5.15)式确定.这就是说，对于给定的<I>p</I>、<I>q</I>、<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_27/htm/sxjm27.files/image076.gif"> </SUB>、<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_27/htm/sxjm27.files/image078.gif"> </SUB>和<I>d</I>，以及按(5.14)、(5.15)式算出的<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_27/htm/sxjm27.files/image079.gif"> </SUB>，仅当<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_27/htm/sxjm27.files/image081.gif"> </SUB>时,才可承诺服务慢了免费供餐，并且承诺时间为<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_27/htm/sxjm27.files/image082.gif"> </SUB>时利润最大。<P></P></P> 进一步分析可以作承诺的条件<P></P>
<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_27/htm/sxjm27.files/image084.gif"> </SUB> (5.19)<P></P>
根据(5.15)式，如果用方程<P></P>
<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_27/htm/sxjm27.files/image086.gif"> </SUB> (5.20)<P></P>
定义函数<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_27/htm/sxjm27.files/image088.gif"> </SUB>，则<P></P>
<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_27/htm/sxjm27.files/image090.gif"> </SUB> (5.21)<P></P>
条件(5.19)可以表为<P></P>
<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_27/htm/sxjm27.files/image092.gif"> </SUB> (5.22)<P></P>
因为(5.14)式中的<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_27/htm/sxjm27.files/image094.gif"> </SUB>是<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_27/htm/sxjm27.files/image096.gif"> </SUB>、<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_27/htm/sxjm27.files/image098.gif"> </SUB>、<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_27/htm/sxjm27.files/image100.gif"> </SUB>的函数，即<P></P>
<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_27/htm/sxjm27.files/image102.gif"> </SUB> (5.23)<P></P>
若记 <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_27/htm/sxjm27.files/image104.gif"> </SUB> (5.24)<P></P>
则当<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_27/htm/sxjm27.files/image106.gif"> </SUB>、<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_27/htm/sxjm27.files/image108.gif"> </SUB>、<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_27/htm/sxjm27.files/image110.gif"> </SUB>给定时快餐店可以作承诺的条件(5.22)，应该表为平均服务时间<I>d</I>满足<P></P>
<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_27/htm/sxjm27.files/image112.gif"> </SUB> (5.25)<P></P>
在这个条件下最优承诺时间<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_27/htm/sxjm27.files/image114.gif"> </SUB>由(5.21)式确定.与不作承诺时的利润<I>J</I>(∞)相比，此时的利润<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_27/htm/sxjm27.files/image116.gif"> </SUB>为<P></P>
<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_27/htm/sxjm27.files/image118.gif"> </SUB> (5.26)<P></P>
评注本节提出的是一个很容易理解的问题，但是把它用数学模型表述出来却并非易事.这里除了用现成的<I>M</I>/<I>M</I>/1模型之外，主要是对承诺时间和顾客多少的关系作了相当简化.也有一定程度合理性的假设，即模型假设条件2及(5.12)式.可以看到，如果比这个假设再复杂一点，就难以得到容易分析的结果了.当然，这个简化假设可能与实际情况有相当大的距离，致使所得结果不一定能直接应用，但是本文提供的方法是值得借鉴的。 <P>谢谢你的帖子</P> <P>谢谢</P> 万分感谢！