第十六讲 微分方程模型——传染病传播模型
<b>问题的提出</b>自2002年底至2003年6月，我国发生了非典型肺炎（<I>S</I>A<I>RS</I>）这种传染性很强的传染病<I>。</I>同历史上的霍乱、天花等曾经肆虐全球的传染性疾病一样，人们要研究解决它。于是建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，预报传染病高峰的到来等成为必要<I>。
</I>为简单起见本例假定，在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变，既不考虑生死，也不考虑迁移<I>。</I>并且时间以天为计量单位<I>。</I>用当时的语言，即实行全面隔离状态<I>。</I> <b> 模型I（<I>S</I>I模型）</b>
假设条件为
1．人群分为易感染者和已感染者两类<I>。</I>以下简称健康者和病人<I>。</I>时刻<I>t</I> 这两类人在总人数中所占的比例分别记作<I>s</I>（<I>t</I>）和i（<I>t</I>）<I>。</I>
2．每个病人每天有效接触的平均人数是常数λ，λ称日接触率。当病人与健康者有效接触时，使健康者受感染变为病人。
根据假设，每个病人每天可使λ<I>s</I>（<I>t</I>）个健康者变为病人，因为病人数为Ni（<I>t</I>），所以每天共有λN<I>s</I>（<I>t</I>）<I>i</I>（<I>t</I>）个健康者被感染，于是λN<I>s</I>i就是病人数Ni的增加率，即有<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image004.gif"> </SUB>（3.35）
又因为<I>s</I>（<I>t</I>）+i（<I>t</I>）=1 （3.36）
再记初始时刻（<I>t</I>=0）病人的比例为i<SUB>0</SUB>，则 <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image006.gif"> </SUB>（3.37）
方程（3.37）是反复出现过的Logi<I>st</I>ic模型。它的解为
<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image008.gif"> </SUB>（3.38） <b> </b> 由（3.37）、（3.38）式及图3-5可知：第一，当i=1/2时， <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image010.gif"> </SUB>达到最大值<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image012.gif"> </SUB>，这个时刻为<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image014.gif"> </SUB>（3.39）
这时病人增加得最快，预示着传染病高潮的到来，是医疗卫生部门关注的时刻<I>。</I><I>t</I><SUB>m</SUB>与λ成反比，因为日接触率λ表示该地区的卫生水平，λ越小卫生水平越高<I>。</I>所以改善保健设施、提高卫生水平可以推迟传染病高潮的到来<I>。</I>第二，当<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image016.gif"> </SUB>时<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image018.gif"> </SUB>，即所有人终将被传染，全变为病人，这显然不符合实际情况<I>。</I>其原因是模型中没有考虑到病人可以治愈，人群中的健康者只能变成病人，病人不会再变成健康者<I>。</I>
为了修正上述结果必须重新考虑模型的假设，下面两个模型中我们讨论病人可以治愈的情况<I>。</I>
<img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image020.gif">
<I> </I>图3—5
<b> 模型II（<I>S</I>I<I>S</I>模型）</b>
有些传染病如伤风、痢疾等愈后免疫力很低，可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变成健康者，健康者还可以被感染再变成病人，所以这个模型称<I>S</I>I<I>S</I>模型<I>。
</I><I>S</I>I<I>S</I>模型的假设条件1、2与<I>S</I>I模型相同，增加的条件为
3．病人每天被治愈的占病人总数的比例为μ，称为日治愈率<I>。</I>病人治愈后成为仍可被感染的健康者<I>。</I>显然1/μ是这种传染病的平均传染期<I>。</I>
考虑到假设3，<I>S</I>I模型的（3.35）式应修正为
<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image022.gif"> </SUB> （3.40）
（3.36）式不变，于是（3.37）式应改为
<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image024.gif"> </SUB> （3.41）
方程（3.41）的解可表示为
<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image026.gif"> </SUB> （3.42）
令<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image028.gif"></SUB>，并注意到<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image030.gif"> </SUB>的意义，可知<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image032.gif"></SUB>是一个传染期内每个病人有效接触的平均人数，称接触数，由此及（3.42）式容易得到，当<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image034.gif"> </SUB>时
<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image036.gif"> </SUB> （3.43）<I> </I> 根据（3.42）～（3.43）式可以画出i（<I>t</I>）～<I>t</I>的图形（图3-6）<I>。</I> <P> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image038.jpg">
图3—6
接触数<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image040.gif"></SUB>是一个阈值<I>。</I>当<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image042.gif"></SUB>时病人比例i（<I>t</I>）越来越小<I>。</I>最终趋于零，这是由于传染期内经有效接触从而使健康者变成的病人数不超过原来病人数的缘故；当<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image044.gif"></SUB>时i（<I>t</I>）的增减性取决于<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image046.gif"> </SUB>的大小（如图3-6），但其极限值<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image048.gif"> </SUB>随<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image049.gif"></SUB>的增加而增加<I>。
</I><I>S</I>I模型可视为本模型的特例，请读者考虑它相当于本模型中<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image051.gif"></SUB>取何值的情况<I>。</I></P> <b> 模型III（<I>S</I>I<I>R</I>模型）</b>
大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很强的免疫力，可以认为他们已经退出传染系统<I>。</I>这种情况下的模型假设条件为
1．人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者三类，称<I>S</I>I<I>R</I>模型<I>。</I>三类人在总人数N中占的比例分别记作<I>s</I>（<I>t</I>）、i（<I>t</I>）和<I>r</I>（<I>t</I>）<I>。</I>
2．病人的日接触率为<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image053.gif"> </SUB>，日治愈率为<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image055.gif"> </SUB>（与<I>S</I>I模型相同），传染期接触数为<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image057.gif"> </SUB><I>。</I>
由条件1显然有<I>s</I>（<I>t</I>）+i（<I>t</I>）+<I>r</I>（<I>t</I>）=1（3.44）
根据条件2方程（3.40）仍成立<I>。</I>对于病愈免疫的移出者而言应有
<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image059.gif"> </SUB>（3.45）
再记初始时刻的健康者和病人的比例分别是<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image061.gif"> </SUB>和<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image063.gif"> </SUB>（不妨设移出者的初始值<I>r</I><SUB>0</SUB>=0），则由（3.40）、（3.44）、（3.45）式，<I>S</I>I<I>R</I>模型的方程可以写作
<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image065.gif"> </SUB>（3.46）
因为方程（3.46）无法求出<I>s</I>（<I>t</I>）和i（<I>t</I>）的解析解，我们转到相平面<I>s</I>～<I>i</I>上来讨论解的性质<I>。</I>相轨线的定义域<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image067.gif"> </SUB>应为
<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image069.gif"> </SUB>（3.47） 在方程（3.46）中消去d<I>t</I>并注意到<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image070.gif"></SUB>的定义，可得
<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image072.gif"> </SUB> （3.48）
容易求出方程（3.48）的解为
<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image074.gif"> </SUB>（3.49）
在定义域内，（3.49）式表示的曲线即为相轨线，如图3-7所示，其中的箭头表示了<I>s</I>（<I>t</I>）和i（<I>t</I>） 随着时间<I>t</I>的增加而变化的趋势<I>。</I>由此及（3.46）式，我们分析<I>s</I>（<I>t</I>），i（<I>t</I>）及<I>r</I>（<I>t</I>）的变化：
1．不论初始条件<I>s</I><SUB>0</SUB>、i<SUB>0</SUB>如何，病人终将消失，即<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image076.gif"></SUB>
2．最终未被感染的健康者的比例是<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image078.gif"></SUB>，在（3.49）式中令i=0得到，<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image079.gif"> </SUB>是方程 <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image081.gif"> </SUB>（3.50）
在<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image083.gif"> </SUB>内的单根<I>。</I>在图形上<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image085.gif"> </SUB>是相轨线与<I>s</I>轴在<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image086.gif"> </SUB>内交点的横坐标<I>。</I>
3．若<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image088.gif"></SUB>，则i（<I>t</I>）先增加，当<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image090.gif"></SUB>时，i（<I>t</I>）达到最大值<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image092.gif"> </SUB>，然后i（<I>t</I>）减小且趋于零，<I>s</I>（<I>t</I>）则单调减小至<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image093.gif"> </SUB><I>。</I>如图3-7中由<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image095.gif"></SUB>出发的轨线<I>。</I> <P> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image097.jpg">
图3—7</P> 4．若<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image099.gif"></SUB>，则i（<I>t</I>）单调减小至零，<I>s</I>（<I>t</I>）单调减小至<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image100.gif"></SUB><I>。</I>如图3-7中由<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image102.gif"> </SUB>出发的轨线<I>。</I>
可以看出，如果仅当病人比例i（<I>t</I>）有一段增长的时期才认为传染病在蔓延，那么<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image104.gif"></SUB>是一个阈值，当<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image106.gif"></SUB>（即<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image108.gif"></SUB>）时传染病就会蔓延<I>。</I>而减小传染期接触数<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image109.gif"></SUB>，即提高阈值<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image110.gif"></SUB>，使得<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image112.gif"></SUB>（即<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image114.gif"></SUB>），传染病就不会蔓延（健康者比例的初始值<I>s</I><SUB>0</SUB>是一定的，通常可认为<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image116.gif"></SUB>）<I>。</I>我们注意到在<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image118.gif"></SUB>中，人们的卫生水平越高，日接触率λ越小；医疗水平越高，日治愈率μ越大，于是<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image119.gif"></SUB>越小，所以提高卫生水平和医疗水平有助于控制传染病的蔓延<I>。</I>
从另一方面看，<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image121.gif"></SUB>是传染期内一个病人传染的健康者的平均数，称为交换数，其含义是一个病人被<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image123.gif"></SUB>个健康者交换<I>。</I>所以当<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image124.gif"></SUB>，即<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image126.gif"></SUB>时，必有<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image128.gif"></SUB><I>。</I>既然交换数不超过1，病人比例i（<I>t</I>）绝不会增加，传染病不会蔓延<I>。</I>
我们看到在<I>S</I>I<I>R</I>模型中接触数<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image129.gif"></SUB>是一个重要参数<I>。</I><SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image130.gif"></SUB>可以由实际数据估计，因为病人比例的初始值i<SUB>0</SUB>通常很小，在（3.50）式中略去i<SUB>0</SUB>可得
<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image132.gif"> </SUB> （3.51）
于是当传染病结束而获得<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image134.gif"></SUB>和<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image136.gif"></SUB>以后，由（3.51）式能算出<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image137.gif"></SUB><I>。</I>另外，对血样作免疫检验也可以根据对检验无反应和有反应，估计出<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image138.gif"></SUB>和<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image139.gif"></SUB>，然后计算<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image140.gif"></SUB><I>。</I> 5．群体免疫和预防<b> </b>
根据对<I>S</I>I<I>R</I>模型的分析，当<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image141.gif"></SUB>时传染病不会蔓延<I>。</I>所以为制止蔓延，除了提高卫生和医疗水平，使阈值<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image143.gif"></SUB>变大以外，另一个途径是降低<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image144.gif"></SUB>，这可以通过譬如预防接种使群体免疫的办法做到<I>。</I>
忽略病人比例的初始值<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image146.gif"></SUB>，有<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image148.gif"></SUB><I>。</I>于是传染病不会蔓延的条件<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image149.gif"></SUB>可以表为
<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_03_01/sxjm_16/htm/sxjm16.files/image151.gif"> </SUB>（3.52）
这就是说，只要通过群体免疫使初始时刻的移出者比例（即免疫者比例）<I>r</I><SUB>0</SUB>满足（3.52）式，就可以制止传染病的蔓延<I>。</I>
当然，通过预防接种及群体免疫的办法需要对传染病理及途径有充分的了解，往往需要较长时间进行研究，并且要大面积接种。因此，提高卫生和医疗水平，提高人类文明程度，克服卫生恶习、陋习才是本质所在<I>。</I>这是此次<I>S</I>A<I>RS</I>病暴发传染给我们的最大提示<I>。</I> 谢谢你的帖子
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