两道初等数学竞赛问题

海岩秋沙 发表于 2005-2-24 17:29:54

题目来源：（<a href="http://post.baidu.com/f?kz=10433388" target="_blank" >http://post.baidu.com/f?kz=10433388</A>）


（1）求1287XY6能被72整除的所有七位数。
（2）已知三角形ABC，角A=80度且AB=AC，O为三角形ABC内任意一点，
 又知角OBC=10度，角OCB=20度。求角OAC=？


我给出的做法（仅供参考，如有不对，敬请指教）





解：（1）由于72=8*9，这样根据能被8整除和能被9整除数的特征，就可以知道有如下的结论：①100*x+10*y+6是8的正整数倍，不妨假设100*x+10*y+6=8*m（m为正整数）。


 ②1+2+8+7+x+y+6是9的正整数倍，不妨记为1+2+8+7+x+y+6=9*n（n为正整数）。


借助计算机很快就可以得到结果！（用matlab解决）


程序如下：X=[];Y=[];x=1;y=1;


for i=1:9


for j=1:9


 if (rem(100*i+10*j+6,8)==0)&(rem(24+i+j,9)==0)


 X(x)=i;Y(y)=j;


 x=x+1;y=y+1;


 end


 end


end


X,Y


X =2 5 9


Y =1 7 3


也就是1287216，1287576，1287936。


当然用手计算也可以，也是很容易检验出来的。


（2）根据正弦定理可以得到：


假设角OAC=x


则有：OC/sin（x）=OA/sin（30度），


 OB/sin（80度-x）=OA/sin（40度）。


 OC/sin（10度）=OB/sin（20度）。


这样可以得到方程，可以求出来。


结果是：角OAC=20度。


当然，这个方程是用计算机解出来的。


程序如下：


solve('sin(10*pi/180)*sin(80*pi/180-x)*sin(pi/6)=sin(x)*sin(40*pi/180)*sin(20*pi/180)','x')


ans =atan(sin(1/18*pi)*cos(1/18*pi)/(sin(1/18*pi)^2+2*sin(2/9*pi)*sin(1/9*pi)))


同时我也可以用几何添加辅助线的方法解决这个问题！（主要是作出这样的辅助线，过A做BC边的垂线，延长CO交垂线于点O’，则角O’BC=20度，只要证明AO平分角O’AC就可以了，用到了面积法和角的平分线定理）。








Levy


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E-mail:leewei0329@126.com


2005 2 23

guoguowww818 发表于 2005-3-9 05:06:06

楼上哥哥真强，佩服！

墨轩发表于 2005-3-14 04:27:37

真厉害！`

ansonhh 发表于 2005-3-21 06:19:14

很简单的程式..没什么佩服的

cxpqiang 发表于 2005-3-22 04:21:37

那你会做吗??你怎么能这么说呢

kinglywang 发表于 2005-4-25 01:11:30

确实不难嘛，连我也可以看出来。

liangyishan 发表于 2005-5-1 19:03:57

为什么会有12两个推论？？请解答一下!!!①100*x+10*y+6是8的正整数倍，不妨假设100*x+10*y+6=8*m（m为正整数）。
②1+2+8+7+x+y+6是9的正整数倍，不妨记为1+2+8+7+x+y+6=9*n（n为正整数）。

liangyishan 发表于 2005-5-1 19:29:26

#include <stdio.h>
#include <math.h>
main()
{ float k,i,j;
clrscr();
for(i=0;i<10;i++) for(j=0;j<10;j++)
{
k=(1287006+i*100+j*10)/72;
printf("%3f %1f %1f\n",k,i,j);}}

lele1985 发表于 2005-7-27 09:23:36

数学方法:
1287XY6=1287000+100X+10Y+6=17875*72+100X+10Y+6
为了求满足条件的X,Y,只要求出X,Y能够是100X+10Y+6的三位数能被72整除就可以
很显然,能够被72整除且末位是6的三位数只有72*3=216,72*8=576
所以(X,Y)=(2,1) or (5,7)

hawkjxr 发表于 2005-7-28 03:46:54

一个初等数学的题目了呀,
为什么要这么麻烦,还要用计算机来计算>?
有没有搞错?
这么说用大学的知识,初中数学竞赛还有开展的必要吗?

一个阶段就得用这个阶段的知识啊,不然学无止境,哪来的最高级竞赛?

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